Vorstellungen von 0,99999...: Unterschied zwischen den Versionen

== Beweise für <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ==

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der [[Bruchrechnung]] gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang <math> \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,1\overline{1} </math> folgt:

<br /> <math> 1 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 0,99999... = 0,9\overline{9}</math>

Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen [[Zahlenstrahl]], der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999...</math>  liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>.

<br /> Man nehme an, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> ist. Dann gibt es ein <math> \epsilon </math>, das den Abstand von <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> zu 1 beschreibt.  

Zur Veranschaulichung sei nun <math> \textstyle \epsilon = 0,000.000.001 </math>. Dann ist <math> \textstyle \epsilon = 1 - 0,9\overline{9}</math> oder anders ausgedrückt <math> \textstyle \epsilon + 0,9\overline{9} = 1</math>.

<br /> Mit I+II folgt <math> \epsilon + 0,9\overline{9} = 1,000.000.000.999 >  1</math>, was einen Widerspruch zur Annahme bildet.

<br /> Führt man nun diesen Beweis mit <math> \epsilon = 10^{-k} </math> mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch.  Da <math>0,9\overline{9} > 1</math>ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math> ist. Es gibt also kein Abstand <math> \epsilon </math> zwischen <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math>und 1, egal wie klein er gewählt wird.

Es ist möglich <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also

<br /> <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot (1/10) + 0,9 \cdot (1/100) + ... = \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n </math>.

Aus der [[Analysis]] ist bekannt, dass für die Reihen <math> \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n  = \textstyle \frac{a}{1-q} </math> mit <math> 0 < q < 1 </math>. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:   

<br/> <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10}^n = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1</math>.

== Schülervorstellungen zu <math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> ==

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu <math>0,9\overline{9}</math>"<ref name="bauer" /> untersuchte [[Ludwig Bauer]] die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math>. Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für <math> \textstyle 0,9\overline{9} = 1</math>. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> stimmten <ref name="bauer" />. Außerdem ist interessant, dass <math> \textstyle 0,9\overline{9} < 1</math> in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte [[Infinitesimalrechnung]], welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.  

<br />"<math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> ist ganz minimal kleiner als 1"

<br />"<math> \textstyle 0,9\overline{9} </math> ergibt nur gerundet 1"

<br />Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen <math>0,9\overline{9}</math> und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen <math> \textstyle 0,9\overline{9}</math> als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.