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Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 12. Januar 2013, 08:42 Uhr
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Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= | Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= ax²+bx+c (mit a ≠ 0) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem [[Scheitelpunkt]] S(-(b/2a);(4ac-b²)/4a). Für a= 0 ergibt sich eine [[lineare Funktion]]. | ||
== Einfluss der Parameter a, b und c == | == Einfluss der Parameter a, b und c == | ||
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==Nullstellen einer quadratischen Funktion== | ==Nullstellen einer quadratischen Funktion== | ||
Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der | Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die [[Nullstellen]] dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehörigen [[quadratischen Gleichung]]. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt: | ||
0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a. | 0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a. | ||
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Im ersten Unterrichtsabschnitt soll die Erarbeitung der quadratischen Funktion anhand einer problemorientierten Anwendungsaufgabe erfolgen. So könnte die Aufgabe lauten: | Im ersten Unterrichtsabschnitt soll die Erarbeitung der quadratischen Funktion anhand einer problemorientierten Anwendungsaufgabe erfolgen. So könnte die Aufgabe lauten: | ||
Ein Kino hat bei einem Eintrittspreise von 8 Euro durchschnittlich 225 Besucher pro Vorstellung. Würder der Besitzer den Eintrittspreis um 0,50 Euro, 1 Euro usw. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um 10 Personen; 20 Personen usw. zurück. | |||
''Ein Kino hat bei einem Eintrittspreise von 8 Euro durchschnittlich 225 Besucher pro Vorstellung. Würder der Besitzer den Eintrittspreis um 0,50 Euro, 1 Euro usw. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um 10 Personen; 20 Personen usw. zurück.'' | |||
Durch Ausprobieren (grafisch, rechnerisch) seitens der Schüler und hilfreichen Fragestellungen des Lehrers können sich die Schüler ein Bild von der Aufgabe machen. Die angegebenen Werte sind jedoch so gewählt, dass die Schüler mit Hilfe einer Zeichnung nicht zum Ergebnis gelangen, wodurch das Aufstellen einer quadratischen Funktion unumgänglich ist. Um eine bessere Übersicht über den funktionalen Zusammenhang zwischen Preiserhöhung und Gewinneinbringung zu erhalten, ist es angebracht eine Tabelle anzulegen (diese bietet auch gleich die Grundlage für eine Diskussion). Anhand dieses Beispiels entsteht auch die Frage nach dem Scheitelpunkt und dessen Bestimmung. | Durch Ausprobieren (grafisch, rechnerisch) seitens der Schüler und hilfreichen Fragestellungen des Lehrers können sich die Schüler ein Bild von der Aufgabe machen. Die angegebenen Werte sind jedoch so gewählt, dass die Schüler mit Hilfe einer Zeichnung nicht zum Ergebnis gelangen, wodurch das Aufstellen einer quadratischen Funktion unumgänglich ist. Um eine bessere Übersicht über den funktionalen Zusammenhang zwischen Preiserhöhung und Gewinneinbringung zu erhalten, ist es angebracht eine Tabelle anzulegen (diese bietet auch gleich die Grundlage für eine Diskussion). Anhand dieses Beispiels entsteht auch die Frage nach dem Scheitelpunkt und dessen Bestimmung. | ||