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Extremwertaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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„Unter ''Extremwertaufgaben'' versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine Funktion von zwei Veränderlichen[Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“<ref>Tietze, U.; Klika, M.; Wolpers, H.(1997): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Fachdidaktische Grundfragen. Didaktik der Analysis. Vieweg Verlag</ref> | „Unter ''Extremwertaufgaben'' versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine [[Funktion]] von zwei Veränderlichen[Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“<ref>Tietze, U.; Klika, M.; Wolpers, H.(1997): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Fachdidaktische Grundfragen. Didaktik der Analysis. Vieweg Verlag</ref> | ||
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===Allgemeiner Algorithmus<ref>Danckwerts,R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum AkademischerVerlag</ref>=== | ===Allgemeiner Algorithmus<ref>Danckwerts,R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum AkademischerVerlag</ref>=== | ||
1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion(Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. | 1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion(Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den [[Definitionsbereich]] der Funktion. | ||
2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen. | 2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen. | ||
3.Schritt: Berechnen Sie die lokalen Extremstellen im Definitionsbereich. | 3.Schritt: Berechnen Sie die [[lokalen Extremstellen]] im Definitionsbereich. | ||
4.Schritt: Sind die lokalen Extremstellen auch global? Untersuchen Sie die Randwerte der Funktion (wenn der Definitionsbereich eingeschränkt ist) oder den Grenzwert im Unendlichen (wenn der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist). | 4.Schritt: Sind die lokalen Extremstellen auch [[global]]? Untersuchen Sie die Randwerte der Funktion (wenn der Definitionsbereich eingeschränkt ist) oder den [[Grenzwert]] im Unendlichen (wenn der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist). | ||
5.Schritt: Wie ist das Ergebnis (im Sachkontext) zu interpretieren? | 5.Schritt: Wie ist das Ergebnis (im Sachkontext) zu interpretieren? | ||
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''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?'' | ''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von 1l haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?'' | ||
(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.) | |||
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5. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = πr²h und beträgt rund 10,839cm. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen | 5. r ist bereits unter 3. berechnet wurden. h ergibt sich aus V = πr²h und beträgt rund 10,839cm. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: r ≈ 5,419cm und h ≈ 10,839cm. | ||
==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern== | ==Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern== | ||