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Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier [[Aussagen]] oder [[Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen. z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1. Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier [[Aussagen]] oder [[Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen. z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1. Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | ||
Beispiele: 3(a+b) = a − b | |||
2 x2+3 x = 16 | 2 x2+3 x = 16 | ||
Gleichungen gehören nach den Zahlen zu den ersten mathematischen Errungenschaften der Menschheit. Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker [[Leonardo Fibonacci von Pisa]] zurück, der etwa um 1180 bis etwa 1250 lebte. | Gleichungen gehören nach den Zahlen zu den ersten mathematischen Errungenschaften der Menschheit. Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker [[Leonardo Fibonacci von Pisa]] zurück, der etwa um 1180 bis etwa 1250 lebte. | ||
2. Die Klassizierung der Gleichungen | '''2. Die Klassizierung der Gleichungen''' | ||
Da zu jedem Typ von Gleichung ein spezieller Lösungsweg gehört, ist es wichtig, dass man | Da zu jedem Typ von Gleichung ein spezieller Lösungsweg gehört, ist es wichtig, dass man | ||
feststellen kann mit welchem Typ von Gleichung man es gerade zu tun hat. Hierfür werden einige gängige Typen von Gleichungen aufgelistet: | feststellen kann mit welchem Typ von Gleichung man es gerade zu tun hat. Hierfür werden einige gängige Typen von Gleichungen aufgelistet: | ||
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0 | Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0 | ||
1. lineare Gleichung | ''1. lineare Gleichung'' | ||
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. | In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. | ||
Allgemeine Form: ax+b=0 | Allgemeine Form: ax+b=0 | ||
z.B. x + 1 = 0 | z.B. x + 1 = 0 | ||
2. quadratische Gleichung | ''2. quadratische Gleichung'' | ||
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. | In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. | ||
Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 | Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 | ||
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Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 | Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 | ||
z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0 | z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0 | ||
'''3. Lösungsstrategien''' | |||
3. Lösungsstrategien | ''3.1 Äquivalente Umformungen einer Gleichung'' | ||
3.1 Äquivalente Umformungen einer Gleichung | |||
Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt. | Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt. | ||
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden. | Eine Gleichung kann als [[Gleichgewichtszustand einer Waage]] gedeutet werden. | ||
3.2 Grafische Lösungen [am Beispiel einer linearen Funktion] | '''3.2 Grafische Lösungen''' [am Beispiel einer linearen Funktion] | ||
Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0 | Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0 | ||
3.3 Gleichungssysteme | '''3.3 Gleichungssysteme''' | ||
3.3.1 Gleichsetzungsverfahren | ''3.3.1 Gleichsetzungsverfahren | ||
3.3.2 Einsetzungsverfahren | 3.3.2 Einsetzungsverfahren | ||
3.3.3 Additionsverfahren | 3.3.3 Additionsverfahren'' | ||
'''4. Literatur''' | |||