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Vorwärtsrechnen: Unterschied zwischen den Versionen
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'''Vorwärtsrechnen''' | '''Vorwärtsrechnen''': | ||
'''Zusammenzählen''', die '''Summe bilden''', Addition (in Lebenspraxis nicht gebräuchlich) oder auch vom Zählanfang zum Ergebnis sind gleichbedeutende Begriffe. | |||
'''Multiplikation'''(Art) oder '''Produkt'''(Form) als 1. Spezialfall und | |||
'''Potenz''' sowie '''Exponentialform'''(der Potenz) als 2. Spezialfall. | |||
Für das Verständnis im Umgang mit Zahlen ist nicht das "Element" Zahl wichtig, sondern dass diese stets eine Differenz zum Zählanfang 0 darstellt, also Z(1) = 1-0 (8 Jahre später eine Funktion und 11 Jahre später ein Elementarvektor) und möglichst auch als positiver Pfeil gezeichnet wird! Die Summe (nicht nur Ergebnis, sondern Rechenart!) ist dann einfach das Aneinanderreihen der Zahlpfeile und später wird dann automatisch die Reihe (11.Klasse) als Summe von Folgegliedern begriffen! Durch die geometrische/grafische Form Pfeil ist gleichzeitig ein weiterer Sinneffekt angesprochen. | Für das Verständnis im Umgang mit Zahlen ist nicht das "Element" Zahl wichtig, sondern dass diese stets eine Differenz zum Zählanfang 0 darstellt, also Z(1) = 1-0 (8 Jahre später eine Funktion und 11 Jahre später ein Elementarvektor) und möglichst auch als positiver Pfeil gezeichnet wird! Die Summe (nicht nur Ergebnis, sondern Rechenart!) ist dann einfach das Aneinanderreihen der Zahlpfeile und später wird dann automatisch die Reihe (11.Klasse) als Summe von Folgegliedern begriffen! Durch die geometrische/grafische Form Pfeil ist gleichzeitig ein weiterer Sinneffekt angesprochen. | ||
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7+6 = 13 = 0+6+7 = 5+8 (indirekte Proportionalität 7-2; 6+2) | 7+6 = 13 = 0+6+7 = 5+8 (indirekte Proportionalität 7-2; 6+2) | ||
In dieser Form einmal eine Aufgabe vollständig dargestellt bringt das logische Verständnis zum Vorwärtszählen zum Ergebnis aber auch für später das gleichbedeutende und fast ausschließlich benötigte Zerlegen einer Zahl bzw. eines Gliedes für gleichartige Glieder, weil nur solche verrechnet werden können! Es muss gelehrt werden, dass in der Mathematik viel weggelassen wird, was aber zum Gesamtverständnis dazugehört, so die Ergänzung mit 0 (später quadr. Ergänzung) oder dass es sich hier um positive Zahlen handelt, eigentlich: | In dieser Form einmal eine Aufgabe vollständig dargestellt bringt das logische Verständnis zum Vorwärtszählen zum Ergebnis aber auch für später das gleichbedeutende und fast ausschließlich benötigte Zerlegen einer Zahl bzw. eines Gliedes für gleichartige Glieder, weil nur solche verrechnet werden können! Es muss gelehrt werden, dass in der Mathematik viel weggelassen wird, was aber zum Gesamtverständnis dazugehört, so die Ergänzung mit 0 (später quadr. Ergänzung) und 1 (in der Punktrechnung) oder dass es sich hier um positive Zahlen handelt, eigentlich: | ||
(+7)+(+6) = (+13) = (+7)-(-6), | (+7)+(+6) = (+13) = (+7)-(-6), | ||
um von Anfang an die Einheit und Gegensätze positive/negative Zahl und deren Verrechnung (doppelte Negation verändert nichts) aufzubereiten! | um von Anfang an die Einheit und Gegensätze positive/negative Zahl und deren Verrechnung (doppelte Negation verändert nichts) aufzubereiten! | ||
Punktrechnung: Erweitern/Kürzen (Ergänzen) mit 1 (direkte Proportionalität): | |||
3/4 * 1 = 3/4 * 4/4 = 12/16 : 1 = 12/16 : 4/4 | |||
Neben der Geometrie/Grafik besteht das Rechnen (Algebra, unterteilt in Zahlen-/konkrete Funktionslehre und allgemeine Funktionslehre) aus ca. 80% reine Umformerei und nur 20% ist wirkliches Verrechnen! Deshalb müssen von Anfang an die Gleichheit der verschiedenen Formen der Rechenarten insbesondere durch das Umformen in die Quelle begreifbar gelehrt werden: | |||
3^3 = (3 * 3) * 3 = (3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3) = 27 | |||
Aber ebenso die Umformung in die Gegenrechenartform, ohne dass es die Gegenrechnung ist durch das Gesetz der doppelten Negation: | |||
27 = 3-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)-(3-)-(-3)-(-3)-(-3) | |||