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Lösungsmenge: Unterschied zwischen den Versionen
K
→Mathematischer Sachverhalt
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Es sei <math>A(x)</math> eine [[Aussageform]] und <math>M</math> eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für <math>x</math> in <math>A(x)</math>, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für <math>x</math> in <math>A(x)</math> entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.<br /> | Es sei <math>A(x)</math> eine [[Aussageform]] und <math>M</math> eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für <math>x</math> in <math>A(x)</math>, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für <math>x</math> in <math>A(x)</math> entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.<br /> | ||
Ist nun <math>\varnothing\ne G\subseteq M</math> und <math>L:=\{x \in G|A(x)\}</math> (d. h.: <math>L</math> ist die Menge aller derjenigen Elemente aus <math>G</math>, die <math>A(x)</math> in eine wahre Aussage überführen, die also <math>A(x)</math> „lösen“) so heißt <math>L</math> „Lösungsmenge“ von <math>A(x)</math> bezüglich der gewählten „Grundmenge“ <math>G</math>, die man auch genauer mit <math>L_{A(x),G}</math> oder – wenn keine Missverständnisse entstehen – kurz mit <math>L_{G}</math> bezeichnen könnte, um damit deutlich zu machen, dass diese Lösungsmenge nicht nur von der Aussageform <math>A(x)</math> abhängig ist, sondern insbesondere auch von der jeweiligen Grundmenge <math>G</math>. Diese Grundmenge kann z. B. eine Menge von Zahlen, von Zahlenpaaren, von Vektoren, von Funktionen, von geometrischen Objekten wie Punkten, Strecken, Figuren usw. sein. So hat beispielsweise eine numerische Gleichung per se noch keine Lösungsmenge, sondern diese hängt wesentlich von der gewählten Grundmenge ab. <br /> | Ist nun <math>\varnothing\ne G\subseteq M</math> und <math>L:=\{x \in G|A(x)\}</math> (d. h.: <math>L</math> ist die Menge aller derjenigen Elemente aus <math>G</math>, die <math>A(x)</math> in eine wahre Aussage überführen, die also <math>A(x)</math> „lösen“), so heißt <math>L</math> „Lösungsmenge“ von <math>A(x)</math> bezüglich der gewählten „Grundmenge“ <math>G</math>, die man auch genauer mit <math>L_{A(x),G}</math> oder – wenn keine Missverständnisse entstehen – kurz mit <math>L_{G}</math> bezeichnen könnte, um damit deutlich zu machen, dass diese Lösungsmenge nicht nur von der Aussageform <math>A(x)</math> abhängig ist, sondern insbesondere auch von der jeweiligen Grundmenge <math>G</math>. Diese Grundmenge kann z. B. eine Menge von Zahlen, von Zahlenpaaren, von Vektoren, von Funktionen, von geometrischen Objekten wie Punkten, Strecken, Figuren usw. sein. So hat beispielsweise eine numerische Gleichung per se noch keine Lösungsmenge, sondern diese hängt wesentlich von der gewählten Grundmenge ab. <br /> | ||
Sofern die Grundmenge <math>G</math> mehr als ein Elemente enthält (<math>|G| > 1</math>), können | Sofern die Grundmenge <math>G</math> mehr als ein Elemente enthält (<math>|G| > 1</math>), können prinzipiell folgende Fälle auftreten:<br /> | ||
# <math>L=\varnothing</math>: Es gibt keine Lösung in <math>G</math>, die Aussageform ist in <math>G</math> ''unlösba''r. | # <math>L=\varnothing</math>: Es gibt keine Lösung in <math>G</math>, die Aussageform ist in <math>G</math> ''unlösba''r. | ||
# <math>\varnothing\ne L\subset G</math>: Die Aussageform ist in <math>G</math> ''(teilweise) lösbar''. | # <math>\varnothing\ne L\subset G</math>: Die Aussageform ist in <math>G</math> ''(teilweise) lösbar''. | ||
# <math>L=G</math>: Die Aussageform ist in <math>G</math> ''allgemeingültig''. (Sie ist natürlich auch in diesem Fall „lösbar“!) | # <math>L=G</math>: Die Aussageform ist in <math>G</math> ''allgemeingültig''. (Sie ist natürlich auch in diesem Fall „lösbar“!) | ||
== Didaktische Aspekte== | == Didaktische Aspekte== | ||
Es ist nicht sinnvoll, im Mathematikunterricht bei der Betrachtung von numerischen Gleichungen bereits dann von „Lösungsmengen“ zu sprechen, wenn noch nicht die Erfahrung gemacht worden ist, dass Gleichungen keine oder mehrere Lösungen haben können. Dieser Fall tritt zwar bei quadratischen Gleichungen auf, jedoch ist an dieser Stelle die Bezeichnung „Lösungsmenge“ noch nicht zwingend erforderlich, weil es hier ja nur genau eine Lösung, zwei Lösungen oder keine Lösung gibt. Diese Schwierigkeit ist jedoch vermeidbar, wenn man früh Ungleichungen betrachtet.<br /> | Es ist nicht sinnvoll, im Mathematikunterricht bei der Betrachtung von numerischen Gleichungen bereits dann von „Lösungsmengen“ zu sprechen, wenn noch nicht die Erfahrung gemacht worden ist, dass Gleichungen keine oder mehrere Lösungen haben können. Dieser Fall tritt zwar bei quadratischen Gleichungen auf, jedoch ist an dieser Stelle die Bezeichnung „Lösungsmenge“ noch nicht zwingend erforderlich, weil es hier ja nur genau eine Lösung, zwei Lösungen oder keine Lösung gibt. Diese Schwierigkeit ist jedoch vermeidbar, wenn man früh Ungleichungen betrachtet.<br /> | ||