Zum Verständnis von Iterationen im Mathematikunterricht: Unterschied zwischen den Versionen

In der Arbeit wird die Bedeutung des Begriffs der Iteration für den Mathematikunterricht analysiert, und es werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie das Verständnis dieses Begriffs im Rahmen eines computerunterstützten Unterrichts entwickelt werden kann. Die Ergebnisse dieser Arbeit sollen Hilfen für zukünftige curriculare Entscheidungen im Zusammenhang mit dem Iterationsbegriff darstellen, darüber hinaus sind sie als ein Beitrag zur didakti-schen Diskussion um die Problematik des Computereinsatzes im Mathematikunterricht gedacht. Iterationen sollen dabei grundlegende Elemente des gesamten Mathematiklehr¬gangs sein. Die Grundthese dieser Arbeit lautet, daß der algorithmische Aspekt der Itera¬tion in enger Wechselbeziehung zur funktionalen Sichtweise des Iterationsbegriffs ent¬wickelt werden muß.

Den Ausgangspunkt der Überlegungen bildet ein Artikel von VOLLRATH aus dem Jahre 1978 über das Thema: "Iterationen mit elementaren Funktionen". Er erschließt darin Eigenschaften von Iterationsfolgen durch das heuristische Arbeiten mit verschiedenen Darstellungsformen. Die grundlegende Frage dieser Arbeit ist nun: Inwieweit eröffnen sich im Rahmen eines computerunterstützten Mathematikunterrichts neue Möglichkeiten für das Arbeiten mit Iterationen? Zur Beantwortung dieser Frage wird zunächst auf intuitive und phänomenologische Vorstellungen sowie kognitionspsychologische Grundlagen des Iterationsbegriffs eingegangen. Dann wird die Bedeutung des iterativen Denkens im Rahmen eines experimentellen, heuristischen und genetischen Mathematikunterrichts diskutiert. Es zeigt sich, daß der Iterationsbegriff einerseits in enger Beziehung zum Algo¬rithmenbegriff steht, daß er aber andererseits auch dazu beitragen kann, die Sichtweise des Folgen- und Funktionsbegriffs zu erweitern. Aus diesen Überlegungen ergibt sich einmal die Frage nach der adäquaten Darstellung von Iterationen, zum anderen läßt sich nach den entwicklungspsychologischen Voraussetzungen sowie den notwendigen Vorkenntnissen und Vorerfahrungen für das Interpretieren von Darstellungen fragen. Dabei handelt es sich zugleich auch allgemein um die Frage nach den Voraussetzungen für das Verständnis von Begriffen in einem computerorientierten Unterricht. Diese Fragen lassen sich letztlich nur empirisch beantworten.

Die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführte empirische Untersuchung stützt sich auf 79 Schüler einer 11. Jahrgangsstufe und auf 22 Mathematiklehrer, die an einem Fortbildungskurs über den Computereinsatz im Unterricht teilnahmen. Die Testteilnehmer sollten mit Hilfe des Computers Eigenschaften von Iterationsfolgen durch das Arbeiten mit verschie¬denen Darstellungsformen erkennen. Der gesamte empirische Teil dieser Arbeit wurde mit Hilfe eines vom Verfasser entwickelten Computerprogramms realisiert. Der Programm-entwicklung lagen die folgenden Ideen zugrunde: Das Programm dient erstens als mathematisches Werkzeug, mit dessen Hilfe die Iterationsfolgen berechnet und verschie¬dene Darstellungen erzeugt werden. Zweitens ist es als Lernprogramm konzipiert, das die Testteilnehmer schrittweise in die Problematik des Iterationsbegriffs einführt, und drittens stellt das Programm ein 'Meßinstrument' der empirischen Untersuchung dar, indem den Versuchspersonen Aufgaben gestellt und ihre Arbeitsweisen am Computer in Form eines 'Computerprotokolls' festgehalten und anschließend analysiert werden können.

Die Auswertung des Tests soll unter anderem darüber Aufschluß geben, welches Wissen die Teilnehmer über Iterationen und Funktionen besitzen bzw. während der Testdurchfüh¬rung erwerben, in welcher Art und Weise sie über Eigenschaften der Iterationsfolgen argumentieren und wie Begriffsvorstellungen durch unterschiedliche Vorbildung und Computererfahrung geprägt werden. Es soll weiterhin festgestellt werden, welche Fähigkei¬ten und Fertigkeiten die Probanden beim Umgang mit Iterationen im Problemlöseprozeß besitzen, wobei insbesondere heuristische Fähigkeiten der Teilnehmer beim Entdecken, Beschreiben und Argumentieren von Interesse sind. Schließlich werden die Ergebnisse der Schüler in bezug auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede mit den Denk- und Arbeits¬weisen von Mathematiklehrern verglichen.

Die Testergebnisse zeigen, daß beim Lernen des Iterationsbegriffs viele Schwierigkeiten auftreten. Diese liegen zum einen im Verständnis der Wechselbeziehung der verschie¬denen funktionalen Ebenen beim Arbeiten mit Iterationen, zum anderen in der richtigen Interpretation der Darstellungen der Iterationsfolgen und zum dritten in der mangelnden Vertrautheit im Umgang mit dem Computer. Es zeigt sich aber auch, daß Iterationsfolgen in einem computerorientierten Mathematikunterricht als eigenständige Objekte im Rahmen des Funktionsbegriffs betrachtet werden können. Darüber hinaus erweisen sich Iterationen als wichtige Hilfsmittel beim Bilden von Begriffen, indem sie den dynamisch algorithmischen Aspekt mathematischer Begriffe betonen. Schließlich vermögen sie zur Entwicklung des Problemlöseverhalten beizutragen, indem durch das Arbeiten mit Itera¬tionen eine große Vielfalt an heuristischen Strategien erschlossen wird.