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Version vom 13. November 2015, 11:52 Uhr
, 13. November 2015→Konsequenzen für die Behandlung der Zahl 0,\overline{9}
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Mit Blick auf die oben skizzierten Schülervorstellungen lässt sich feststellen, dass Brüche zwischen innermathematischer Klärung und ursprünglichem Verstehen unvermeidlich für einen sinnstiftenden Umgang mit Mathematik sind.<ref name="Vogel"/> | Mit Blick auf die oben skizzierten Schülervorstellungen lässt sich feststellen, dass Brüche zwischen innermathematischer Klärung und ursprünglichem Verstehen unvermeidlich für einen sinnstiftenden Umgang mit Mathematik sind.<ref name="Vogel"/> | ||
Eine Grundlage für die systematische Behandlung der <math>0,\overline{9}</math> bilden die genetischen Spiralcurricula der Bundesländer. | Eine Grundlage für die systematische Behandlung der <math>0,\overline{9}</math> bilden die genetischen Spiralcurricula der Bundesländer. | ||
Beginnend mit der Bruchrechnung in Klasse 6 kann mittels der Darstellung <math>0,\overline{9} = 9 \cdot \frac {1}{9} = 1</math> der erste Beweis geführt werden. Dieses Ergebnis erscheint allerdings eher oberflächlich und wenig nachhaltig. Deshalb ist das erneute Aufgreifen der Zahl in höheren Klassenstufe unabdingbar. <ref name="bauer" />Eine erste Wiederholung des Zusammenhanges wäre nach der Einführung von | Beginnend mit der Bruchrechnung in Klasse 6 kann mittels der Darstellung <math>0,\overline{9} = 9 \cdot \frac {1}{9} = 1</math> der erste Beweis geführt werden. Dieses Ergebnis erscheint allerdings eher oberflächlich und wenig nachhaltig. Deshalb ist das erneute Aufgreifen der Zahl in höheren Klassenstufe unabdingbar. <ref name="bauer" />Eine erste Wiederholung des Zusammenhanges wäre nach der Einführung von Gleichungssystemen möglich, um die Herleitung durch Verwendung von Gleichungen zu realisieren. Zur abschließenden Wiederholung wäre dann noch einmal der Beweis mit Hilfe von Reihen innerhalb der Sekundarstufe II möglich. | ||
Mit Blick auf die Ergebnisse der Studie von [[Ludwig Bauer]] muss auf die Behandlung der Zahl <math>0,\overline{9} </math> in der Oberstufe geachtet werden, die Behandlung des Grenzwertbegriffes und die Einführung der Infinitesimalrechnung sollte die Wiederholung unterstützen. Weiterhin weist [[Ludwig Bauer|Bauer]] darauf hin, dass "... im Sinne eines genetisch-konstruktivistischen Lernverständnisses [...] auch dieser indirekte Beweis alleine nicht ausreichend [''ist'']. Eine einzelne unterrichtliche Aktion, sei es ein Rechenverfahren oder ein Beweis, hat wohl eher nur die Wirkung einer „Überredung“ der Schülerinnen und Schüler. Eine echte „Überzeugung“, dass <math>0,\overline{9}=1</math> und dass <math>0,\overline{9}</math> der Grenzwert der Folge 0,9, 0,99 usw. ist, entwickeln die Schülerinnen und Schüler wohl nur dann, wenn sie alle bisher gesammelten Erfahrungen aufeinander beziehen und reflektieren." <ref name="bauer" /> | Mit Blick auf die Ergebnisse der Studie von [[Ludwig Bauer]] muss auf die Behandlung der Zahl <math>0,\overline{9} </math> in der Oberstufe geachtet werden, die Behandlung des Grenzwertbegriffes und die Einführung der Infinitesimalrechnung sollte die Wiederholung unterstützen. Weiterhin weist [[Ludwig Bauer|Bauer]] darauf hin, dass "... im Sinne eines genetisch-konstruktivistischen Lernverständnisses [...] auch dieser indirekte Beweis alleine nicht ausreichend [''ist'']. Eine einzelne unterrichtliche Aktion, sei es ein Rechenverfahren oder ein Beweis, hat wohl eher nur die Wirkung einer „Überredung“ der Schülerinnen und Schüler. Eine echte „Überzeugung“, dass <math>0,\overline{9}=1</math> und dass <math>0,\overline{9}</math> der Grenzwert der Folge 0,9, 0,99 usw. ist, entwickeln die Schülerinnen und Schüler wohl nur dann, wenn sie alle bisher gesammelten Erfahrungen aufeinander beziehen und reflektieren." <ref name="bauer" /> | ||
==Zitatquellen und verwendete Literatur== | ==Zitatquellen und verwendete Literatur== | ||