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| <small><small>Verfasst von [[Horst Hischer]]</small></small>
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| ==Übersicht <small><small><ref>In Anlehnung an die ausführliche Darstellung in [Hischer 2012, 127 ff.]</ref>.</small></small>==
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| Der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff nimmt in der Mathematik die zentrale Stellung eines nicht mehr weg zu denkenden Grundbegriffs ein. Erstaunlicherweise trifft man derzeit auf unterschiedliche und kaum vereinbare Sprech- bzw. Schreibweisen wie z. B.:<br />
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| : ''„die Funktion <math>y=f(x)</math>”'', ''„die Funktion <math>f(x)</math>“'', ''„die Funktion <math>f</math>“'', ''„die Funktion <math>y=y(x)</math>“'', ''„die Funktion <math>x\mapsto f(x)</math>“'',<br />
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| : weiterhin z. B.: ''„der Weg ist eine Funktion der Zeit“'' – ''es wird eine Parabel als „quadratische Funktion“ bezeichnet'' – ''es wird eine Wertetabelle als „Funktion“ bezeichnet'' – ...
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| Strengen formalen Ansprüchen hält nur die Formulierung ''„die Funktion <math>f</math>“'' stand, mit Abstrichen auch noch ''„die Funktion <math>x\mapsto f(x)</math>“''. Somit scheint es kein einheitliches Begriffsverständnis dessen zu geben, was eine „Funktion“ ist. Dieser Verdacht wird genährt, wenn man berücksichtigt, dass z. B. (auch in der Mathematik) in zunehmendem Maße (wieder!) von „Funktionen mit mehreren Veränderlichen“ gesprochen wird (etwa bei Titeln von Lehrbüchern oder von Vorlesungen) – und dabei hat eine Funktion in strenger Begriffsauffassung (als rechtseindeutige [[Relation]]) gar keine Veränderlichen (korrekt wäre hier: „einstellige“ bzw. „mehrstellige“ Funktionen). Diese Sprechweise weist aber darauf hin, dass solche Autoren neuerdings Funktionen wieder als Terme auffassen, also der Sprechweise „die Funktion <math>f(x)</math>“ zuneigen – wie es bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts üblich war. Spürt man dem in Gesprächen mit Mathematikern nach, so wird diese Vermutung insofern bestätigt, als dass das, was für sie eine Funktion ist, von dem Kontext abhängt, in dem sie forschend tätig sind:<br />
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| Beispielsweise sind für viele Numeriker (kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ und „Tabelle“ Synonyme, oder sie identifizieren (ebenfalls kontextbezogen nachvollziehbar) „Funktion“ mit „Term“. Und man findet (z. B. in der Analysis) die Auffassung, Funktionen seien spezielle Abbildungen, und zwar von <math>{{\mathbb{R}}^{n}}</math> in <math>\mathbb{R}</math>. „[[Abbildung]]“ ist dann lediglich eine „eindeutige [[Zuordnung]]“ im Sinne eines undefinierten und unmittelbar einleuchtenden Grundbegriffs, womit dann „Funktion“ und „Abbildung“ – im Gegensatz zur mengentheoretisch begründeten Auffassung – z. T. nicht identifiziert werden. Für Zahlentheoretiker sind Funktionen oft nur Abbildungen von <math>\mathbb{Z}</math> in <math>\mathbb{R}</math> oder in <math>\mathbb{C}</math>, weil sie im Wesentlichen nur solche Funktionen untersuchen. Und die Bezeichnung „Funktionentheorie“ ist mitnichten eine „Theorie der Funktionen“ im Sinne der Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger [[Relation]]“. Vielmehr verweist diese Bezeichnung auf ein historisches (und überkommenes?) Verständnis von „Funktion“.<br />
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| Physiker nennen z. B. die Gleichung <math>s=s(t)</math> eine „Weg-Zeit-Funktion“, obwohl hier die Variable <math>s</math> in zwei formal unterschiedlichen und unvereinbaren Rollen auftritt. Andererseits kommt in dieser Formulierung eine sehr schöne und inhaltlich sehr reichhaltige Auffassung zum Ausdruck, die in einer formal einwandfreien (und dann auch aufgeblähten!) Darstellung verloren gehen würde. Physiker werden es sich auch nicht nehmen lassen, <math>\Psi (x,t)</math> als „Wellenfunktion“ zu bezeichnen, und sie werden beispielsweise die für sie schöne Formulierung <math>U=U(t)</math> verwenden, um damit auszudrücken, dass die „Spannung eine Funktion der Zeit“ sei. Zusammengefasst: Im physikalischen Kontext ist eine solche Sichtweise von „Funktion“ nicht nur nachvollziehbar, sondern gewiss auch sinnvoll und situationsadäquat, im rein mathematischen Kontext ist sie aber kaum tragbar – und beide Standpunkte haben ihre Berechtigung. Ein Paradoxon?<br />
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| So scheint es in der Mathematik, diesem Prototyp der exakten Wissenschaften, keine einheitliche Auffassung dessen zu geben, was eine Funktion ist. Das lässt sich sowohl durch individuelle Umfragen als auch durch einen Blick in die aktuelle Lehrbuchliteratur belegen. Und dennoch bezeichnet „Funktion“ einen wesentlichen Grundbegriff der Mathematik, der in nahezu allen Teilgebieten und auch in den Anwendungen der Mathematik vorkommt, und zwar gerade wegen dieser Uneinheitlichkeit! Genauer:<br />
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| Der mit „Funktion“ bezeichnete Begriff weist u. a. wegen der hier skizzierten Vagheit eine große Reichhaltigkeit auf, wie es für ''fundamentale Ideen'' der Mathematik typisch ist. Zugleich weisen die oben angedeuteten Formulierungen, die einen unterschiedlichen Gebrauch des Wortes „Funktion“ aufzeigen, auf einen gemeinsamen Kern von Eigenschaften hin, die den mit „Funktion“ bezeichneten mathematischen Begriff ausmachen, was wie folgt beschreibbar ist:<br />
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| * Funktionen haben viele Gesichter, in denen sie uns begegnen. <ref>In [Hischer 2012, 129] mit Bezug auf den Artikel [Herget et al. 2000] formuliert.</ref>
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| == Zur kulturhistorischen Begriffsgenese <small><small><ref>Vgl. hierzu die ausführliche Darstellung in [Hischer 2012, 130 ff.].</ref></small></small> ==
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| ===Problematisierung===
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| Wo liegen die kulturhistorischen Wurzeln des mathematischen Funktionsbegriffs, und wie hat dieser sich Laufe der Geschichte der Mathematik entwickelt? Dieser Aspekt ist auch für die ontogenetische Entwicklung eines Begriffs im Individuum <ref>Vgl. [Hischer 2012, Kapitel 1].</ref> bedeutsam. Dabei geht es nicht darum, wann und unter welchen Bedingungen das Wort „Funktion” in der Mathematik auftauchte (was schnell auf [http://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Leibniz] und [http://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob I Bernoulli] führen würde, jedoch nicht weiterhilft). Vielmehr geht es um die mit dem Funktionsbegriff intendierten ''Inhalte'', denn es ist ''zwischen dem '''Begriffsnamen''' und dem '''Begriffsinhalt''' zu unterscheiden!'' <ref>Vgl. [Hischer 2012, 39 f.]</ref> Solche Inhalte ergeben sich anhand der oben angedeuteten<br />
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| * '''Erscheinungsformen von Funktionen''' in Gestalt „vieler Gesichter“, z. B.:
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| :• eindeutige [[Zuordnung]]
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| :• Abhängigkeit einer [[Größe]] (als einer „abhängigen Variablen“) von einer anderen (als einer „unabhängigen Variablen“), speziell auch zeitabhängige Größen
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| :• (Werte-)Tabelle, insbesondere auch empirische Wertetabelle
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| :• Kurve, Graph, Datendiagramm, [[Funktionenplotter#Funktionsplot als Simulation|Funktionsplot]]
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| :• Formel
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| :• ...?
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| Legt man diese (offen gehalteneI Liste zugrunde, so begegnet uns der Funktionsbegriff bereits in einigen numerischen Tabellen bei den Babyloniern im 19. Jh. v. Chr., und es ergibt sich folgende grobe Zeittafel:<br />
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| ===Zeittafel===
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| * '''Stationen der kulturhistorischen Entwicklung des Funktionsbegriffs''' <ref>Vgl. die Zeittafel in [Hischer 2012, 131] und dort die ausführliche Darstellung im Anschluss daran.</ref>
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| | 19. Jh. v. Chr. || • '''Babylonier''': ''Tabellierung'' von Funktionen
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| | ab 5. Jh. v. Chr. || • '''griechische Antike''': kinematisch erzeugte ''Kurven''
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| | ca. 950 v. Chr. || • '''Klosterschule''': ''erste dokumentierte zeitachsenorientierte Funktion''
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| | Anfang des 11. Jhs. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Guido_von_Arezzo Guido von Arezzo]''': Erfindung der ''Notenschrift'' – eine weitere zeitachsenorientierte Funktion
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| | 14. Jh. || • '''Mittelalter''', insbesondere '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Nikolaus_von_Oresme Nicole d'Oresme]''': ''graphische Darstellung'' zeitabhängiger Größen
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| | 17. Jh. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton]''': Fluxionen, Fluenten<br />
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| • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob I Bernoulli]''': erstmalig das Wort ''„Funktion“''<br />
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| • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli Johann I Bernoulli]''': ''„Ordinaten“''
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| | 18. Jh. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli Johann I Bernoulli]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]''': Funktion ''„als analytischer Ausdruck“'', d. h.: als ''„Term“''<br />
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| • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler Leonhard Euler]''': Funktion als ''„freihändig gezeichnete Kurve“''<br />
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| • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert Johann Heinrich Lambert]''' und andere: graphische Darstellung empirischer gewonnener Daten durch ''Funktionsgraph'' ''(„Kurve“)''<br />
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| • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/William_Playfair William Playfaire]''': „Lineare Arithmetik“ zur Darstellung empirischer Daten durch ''Balkendiagramme'' und ''Kreisdiagramme''
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| | 19. Jh. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier Joseph Fourier]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet Peter Gustav Lejeune Dirichlet]''' <ref>Aussprache: „Dirischle“ mit offenem „e“ wie in „Bett“, also: [http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_IPA-Zeichen diʀiˈʃleː] (nicht aber wie meist üblich „Dirikle“); Quelle: Meyers Konversationslexikon, 5. Band, Leipzig/Wien: Bibliographisches Institut, 1895, S. 27; siehe dazu auch die begründenden Erläuterungen in [Hischer 2012, 149 ff.].</ref>, '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind Richard Dedekind]''': <br />
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| : Funktion (Abbildung) als ''eindeutige Zuordnung'' (wesentlich: sie ist nicht mehr notwendig termdefiniert!)<br />
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| • [http://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Du_Bois-Reymond '''Paul Du Bois-Reymond''']: Funktion als ''Tabelle''<br />
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| • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Peano Guiseppe Peano]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Sanders_Peirce Charles Sanders Peirce]''', '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Schr%C3%B6der_(Mathematiker) Ernst Schröder]''': Relation als ''Menge geordneter Paare''
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| | Anfang des 20. Jhs. || • '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff Felix Hausdorff]''' (1914): Funktion als spezielle Relation
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| | seit Ende des 20. Jhs. || • ... die große Vielfalt ???
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| • ... viele „Gesichter“ von Funktionen ???
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| ===Erörterung===
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| Während im 18. Jh. für '''Euler''' Funktionen noch entweder „analytische Ausdrücke“ (also „[[Term|Terme]]“ im heutigen Verständnis) oder „freihändig gezeichnete Kurven“ waren, begegnen uns darüber hinaus Funktionen im selben Jahrhundert (aus unserer heutigen Sicht) auch als graphisch oder tabellarisch dargestellte empirische Zusammenhänge, was im 19. Jh. über empirische Untersuchungen zunächst von '''Fourier''' und dann von seinem Schüler '''Dirichlet''' zu einem „termfreien“ Funktionsbegriff führte, bei dem die Funktionswerte keinem ''Bildungsgesetz'' mehr folgen (müssen). Der Grundlagenforscher und Mathematikhistoriker Ulrich Felgner schreibt hierzu: <ref>Felgner 2002, 624]</ref>
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| :: Funktionen sind [...] bei Fourier und Dirichlet dem Begriffe nach eindeutige Zuordnungen. Im Begriff der Funktion ist die Definierbarkeit durch einen analytischen Ausdruck nicht eingeschlossen. Dieser Funktionsbegriff wird oft nur mit dem Namen Dirichlets in Verbindung gebracht, obwohl doch Fourier der eigentliche Urheber ist.
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| :: [...] Funktionen im Sinne von Fourier und Dirichlet müssen weder differenzierbar noch stetig sein.
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| <div id="nicht termdefinierbar"></div>Mit dem „analytischen Ausdruck“ ist hier ein arithmetischer [[Term]] gemeint. Es ist zu beachten, dass damit bei '''Fourier''' und '''Dirichlet''' Funktionen erstmalig nicht mehr (wie zuvor noch bei Euler) einem „Bildungsgesetz“ gehorchen müssen, weil sie ''nicht mehr termdefinierbar'' sein müssen (was für empirische Funktionen der „Normalfall“ ist).<br />
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| Auch Richard '''Dedekind''' fasst Funktionen als eindeutige Zuordnungen auf, verwendet aber die Bezeichnung „Abbildung“, wobei er noch von einem „Gesetz“ spricht. <ref>Vgl. [Hischer 2012, 153]</ref><br />
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| Paul '''Du Bois-Reymond''' erfasst den Aspekt der eindeutigen Zuordnung durch die Auffassung von „Funktion als Tabelle“ (wie bei den Babyloniern), was Felgner wie folgt kommentiert: <ref>[Felgner 2002, 626]; zitiert bei [Hischer 2012, 152] in Verbindung mit dem Originaltext von Du Bois-Reymond.</ref>
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| :: Auch diese Beschreibung des Funktionsbegriffes ist recht allgemein. Eine Gesetzmäßigkeit muss einer Tabelle nicht unbedingt zugrunde liegen. In die Spalte der Funktionswerte kann man ja nach Belieben Werte hineinschreiben.
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| Daran anschließend versuchen '''Peirce''', '''Schröder''' und '''Peano''' erstmalig, ''Funktionen als Relationen'' und ''Relationen als Mengen geordneter Paare'' zu beschreiben, wobei sie „geordnetes Paar“ noch undefiniert verwenden.<br />
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| Felix '''Hausdorff''' definiert 1914 erstmalig „geordnetes Paar“ auf mengentheoretischer Grundlage (wenn auch noch nicht so elegant wie 1921 [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) und darauf aufbauend „Funktion“ als das, was wir heute ''„binäre, rechtseindeutige Relation“'' nennen: Damit wurde erstmalig der moderne [[Funktion: mengentheoretische Auffassung|Funktionsbegriff in mengentheoretischer Auffassung]] formal sauber definiert, basierend auf den Vorarbeiten vor allem der Mathematiker des 19. Jahrhunderts, wobei die vorherige Betrachtung und Einbeziehung empirischer Funktionen die Abkehr von der Forderung nach einem „Bildungsgesetz“ geradezu erzwungen hatte.<br >
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| Diese Fassung des Funktionsbegriffs auf mengentheoretischer Grundlage entsprach den Bemühungen der Mathematik des 20. Jhs., das mathematische „Gebäude“ auf wenigen Fundamenten aufzubauen, um damit die Argumentationsbasis klein zu halten. <ref>Vgl. z. B. [Hischer 2012].</ref>
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| == Literatur ==
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| * Felgner, Ulrich [2002]: ''Der Begriff der Funktion.'' In: Felix Hausdorff – Gesammelte Werke Band II, Grundzüge der Mengenlehre. New York / Berlin / Heidelberg: Springer, S. 621–633.
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| * Herget, Wilfried & Malitte, Eva & Richter, Karin [2000]: ''Funktionen haben viele Gesichter – auch im Unterricht!'' In: Flade, Lothar & Herget, Wilfried (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS – Anregungen für die Sekundarschulen. Berlin: Verlag Volk und Wissen, 2000, 115–124.
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| * Hischer, Horst [2012]: ''Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl''. Wiesbaden: Springer Spektrum.
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| ==Anmerkungen==
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| <references />
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