Funktion: mengentheoretische Auffassung: Unterschied zwischen den Versionen

<small><small>Verfasst von [[Horst Hischer]]</small></small>

==Übersicht==

==Grundlegende Definitionen==

Unter Bezug auf den mit „binäre Relation“ bezeichneten Begriff lässt sich „Funktion“ knapp und elegant definieren, wobei hier statt „binäre Relation“ kurz „[[Relation]]“ gesagt wird: <ref>Auch [Deiser 2010] definiert „Funktion“ als rechtseindeutige Relation.</ref><br /><div id="Abbildung"></div><div id="Operator"></div>

Die Schreib- bzw. Sprechweisen „<math>f</math> ''ist eine Funktion''“ und „<math>f</math> ''ist eine rechtseindeutige Relation''“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde:

[[Datei:Funktion_als_rechtseindeutige_Relation.png|thumb|right|300px||<big>'''Pfeildiagramme''' von zwei Relationen:</big><br />

<big>''rechts:''</big> die Relation ist rechtseindeutig, sie zeigt eine<br />

Nur die Relation rechts ist auch linkseindeutig.]]

{| class="wikitable"

::: aus <math>xR{{y}_{1}}\wedge xR{{y}_{2}}</math> folgt stets  <math>{{y}_{1}}={{y}_{2}}</math>.

|| '''Jedem''' Element aus der Ausgangsmenge <math>A</math> '''wird höchstens ein''' Element aus der Zielmenge <math>B</math> [[Zuordnung|zugeordnet]].<br />

|-

| (2) <math>R</math> ist genau dann '''linkseindeutig''', wenn für alle <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},y</math> gilt:  

::: aus <math>{{x}_{1}}Ry\wedge {{x}_{2}}Ry</math> folgt stets  <math>{{x}_{1}}={{x}_{2}}</math>.

|| '''Jedes''' Element aus der Zielmenge <math>A</math> '''ist höchstens einem''' Element aus der Ausgangsmenge <math>B</math> [[Zuordnung|zugeordnet]].<br />

|-

| (3) <math>R</math> ist genau dann '''injektiv''', wenn <math>R</math> sowohl rechtseindeutig als auch linkseindeutig ist.

oder: „das <math>y</math> wird dem <math>x</math> zugeordnet“<br />

oder: „aus <math>x</math> wird <math>y</math>“,<br />

|-

| Es sei <math>x\in A</math> und <math>y\in B</math>. Falls <math>x\mapsto y</math> bezüglich der Funktion <math>f</math> gilt, dann ist:: <math>f(x):=y</math> || <math>f(x)</math> heißt dann '''Funktionswert''' von „<math>x</math> bezüglich <math>f</math>, gelesen: „f von x“.<br />

| Falls <math>{{\operatorname{D}}_{f}}=A</math>, dann wird notiert:: <math>f\,:A\to B</math> || gelesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> '''in''' <math>B</math>“.<br />

Die Zuordnungspfeile <math>\mapsto</math> und <math>\to</math> sind streng zu unterscheiden, denn z. B. gilt:<br />

<math>\{1\}\mapsto \{2,3\}</math> bedeutet: Der Menge <math>\{1\}</math> wird die Menge <math>\{2,3\}</math> zugeordnet.

|-

| Falls <math>f</math> surjektiv und injektiv ist, dann heißt <math>f</math> '''bijektiv'''. || <math>f</math> ist dann eine '''Bijektion'''.

|-

|-

| Eine beliebige Transformation einer '''endlichen''' Menge <math>A</math> ist eine '''Permutation''' . || ''Umordnungen'' der Elemente einer endlichen Menge sind stets Permutationen.

* Der Aspekt der eindeutigen Zuordnung liegt in zweispaltigen Tabellen automatisch vor, wenn sich in der „Eingangspalte“ (links) kein Element wiederholt. Damit kann eine „Funktion“ alternativ von Anbeginn an auch mit einer solchen Tabelle identifiziert werden, dieses in Übereinstimmung mit der Auffassung der Numeriker und ganz in der kulturhistorischen Tradition der Mathematik von den Babyloniern bis Du Bois-Reymond (s. o).

* Die symbolische Darstellung „<math>f\,:A\to B</math>“ ist eine Aussage (bzw. Eigenschaft) und bedeutet definitionsgemäß und ist so zu lesen: „<math>f</math> ist eine Funktion von <math>A</math> in <math>B</math>“. Damit ist es sprachlich nicht korrekt, <math>f\,:A\to B</math> eine „Funktion“ zu nennen, sondern korrekt wäre z. B. entweder „die Funktion <math>f</math> von <math>A</math> in <math>B</math>“ oder „die Funktion <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>f\,:A\to B</math>“.

* Nur dann, wenn <math>y=f(x)</math> gilt und <math>f(x)</math> für alle betrachteten <math>x</math> ein [[Term]] ist, kann man also „<math>y=f(x)</math>“ eine '''Funktionsgleichung''' nennen.

* Konsequenz: Es gibt in formaler Hinsicht keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' auffassen kann. <ref>Vgl. die in der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Übersicht|Übersicht]] erwähnte [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorische Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]].</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte [[Funktionenplotter#Funktionsplot|Funktionsplot]] kann damit als eine „Funktion“ aufgefasst werden. <ref>Genauer: Sowohl die erwähnte „Parabel“ als auch die Funktionsplots sind eigentlich „Darstellungen“ einer Funktion, was die Frage aufwirft, worin der Unterschied zwischen einer Darstellung und dem dadurch Dargestellten besteht.</ref>

===Fazit===

'''Aber''': Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von ''„Funktion als rechtseindeutiger Relation“'' auf höherem Niveau beweistechnisch sehr gute Möglichkeiten eröffnet und dass auch auf „elementarem“ Niveau (und damit im Mathematikunterricht) in „sauberer“ Sprech- und Schreibweise möglichst unterschieden werden sollte zwischen:  

* ''die Funktion'' <math>f</math>

==Mehrstellige Funktionen==

'''Definition''':<br />

: Dann ist <math>f</math> eine '''<math>n</math>-stellige Funktion'''. <br /><br />

* Für die Funktionswerte gilt also <math>f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})\in B</math>.

* Mit <math>f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})=:y</math> ist <math>({{x}_{n}},\ldots ,{{x}_{n}},y)=(({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}),y)\in ({{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}})\times B={{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n}}\times B</math>, und damit ist jede <math>n</math>-stellige Funktion zugleich eine '''<math>(n+1)</math>-stellige [[Relation]]'''.

* Deiser, Oliver [2010]: ''Einführung in die Mengenlehre''. Berlin / Heidelberg: Springer (3., korrigierte Auflage; 1. Auflage 2000; 2., korrigierte und erheblich erweiterte Auflage 2004).

* Felgner, Ulrich [2002]: ''Der Begriff der Funktion.'' In: Felix Hausdorff – Gesammelte Werke Band II, Grundzüge der Mengenlehre. New York / Berlin / Heidelberg: Springer, S. 621–633.

* Hischer, Horst [2012]: ''Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl''. Wiesbaden: Springer Spektrum.