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Funktion: mengentheoretische Auffassung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 21. August 2013, 06:35 Uhr
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| „'''Funktion'''“ ist eine Kurzbezeichnung für „rechtseindeutige Relation“. || | | „'''Funktion'''“ ist eine Kurzbezeichnung für „rechtseindeutige Relation“. || | ||
• „'''Abbildung'''“ ist meist ein Synonym für „Funktion“ | • „'''Abbildung'''“ ist meist ein Synonym für „Funktion“<br /> | ||
• | • „'''Operator'''“ und „'''Funktional'''“ bezeichnen jeweils Funktionen in speziellen Kontexten. | ||
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Die Schreib- bzw. Sprechweisen „<math>f</math> ''ist eine Funktion''“ und „<math>f</math> ''ist eine rechtseindeutige Relation''“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde: | Die Schreib- bzw. Sprechweisen „<math>f</math> ''ist eine Funktion''“ und „<math>f</math> ''ist eine rechtseindeutige Relation''“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde: | ||
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| <div id="Funktionsgraph"></div><math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> || <math>{{\operatorname{G}}_{f}}</math> heißt '''Graph''' von <math>f</math> (oder einfach '''Funktionsgraph'''). Es gilt <math>{{\operatorname{G}}_{f}}\subseteq A\times B</math>. | | <div id="Funktionsgraph"></div><math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> || <math>{{\operatorname{G}}_{f}}</math> heißt '''Graph''' von <math>f</math> (oder einfach '''Funktionsgraph'''). Es gilt <math>{{\operatorname{G}}_{f}}\subseteq A\times B</math>. | ||
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• Ein „'''Operator'''“ ist ebenfalls eine Funktion, in der höheren Mathematik meist von einem Vektorraum in einen Vektorraum, im Mathematikunterricht z. B. beim Aspekt „Bruch als Operator“.<br /> | |||
• Ein „'''Funktional'''“ ist ein Operator von einem „Funktionenraum“ in <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math> (z. B. „bestimmtes Integral“). <ref>Das macht die frühere Bezeichnung „Funktionenfunktion“ für „Funktional“ plausibel..</ref> | |||
==Didaktische Vertiefung== | ==Didaktische Vertiefung== | ||
===Funktionsdefinition=== | ===Funktionsdefinition=== | ||
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===Funktionsgraph=== | ===Funktionsgraph=== | ||
* Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch ''Punkte in einem Koordinatensystem'', wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. | * Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch ''Punkte in einem Koordinatensystem'', wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. | ||
* Konsequenz: Es gibt in formaler Hinsicht keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' auffassen kann. <ref>Vgl. die in der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Übersicht|Übersicht]] erwähnte [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorische Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]].</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte [[Funktionenplotter#Funktionsplot|Funktionsplot]] kann damit als eine „Funktion“ aufgefasst werden. <ref>Genauer: Sowohl die erwähnte „Parabel“ als auch die Funktionsplots sind eigentlich „Darstellungen“ einer Funktion, was die Frage aufwirft, worin der Unterschied zwischen einer Darstellung und dem dadurch Dargestellten besteht.</ref><br /> | * Konsequenz: Es gibt in formaler Hinsicht keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' auffassen kann. <ref>Vgl. die in der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Übersicht|Übersicht]] erwähnte [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorische Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]].</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte [[Funktionenplotter#Funktionsplot|Funktionsplot]] kann damit als eine „Funktion“ aufgefasst werden. <ref>Genauer: Sowohl die erwähnte „Parabel“ als auch die Funktionsplots sind eigentlich „Darstellungen“ einer Funktion, was die Frage aufwirft, worin der Unterschied zwischen einer Darstellung und dem dadurch Dargestellten besteht.</ref><br /><br /> | ||
Diese Betrachtungen führen zunächst zu einer „Weite“ des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs auf und leiten ueber zu den vielen „[[Funktion: viele Gesichter|Gesichtern von Funktionen]]“. <ref>Vgl. [Herget et. al. 2020].</ref> Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ beweistechnisch gute Möglichkeiten eröffnet und dass in diesem Zusammenhang in „sauberer“ Sprechweise möglichst unterschieden werden sollte zwischen „die Funktion <math>f</math>“, „der Funktionswert <math>f(x)</math>“ und „graphische Darstellung von <math>f</math>“. | Diese Betrachtungen führen zunächst zu einer „Weite“ des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs auf und leiten ueber zu den vielen „[[Funktion: viele Gesichter|Gesichtern von Funktionen]]“. <ref>Vgl. [Herget et. al. 2020].</ref> Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ beweistechnisch gute Möglichkeiten eröffnet und dass in diesem Zusammenhang in „sauberer“ Sprechweise möglichst unterschieden werden sollte zwischen „die Funktion <math>f</math>“, „der Funktionswert <math>f(x)</math>“ und „graphische Darstellung von <math>f</math>“. | ||