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 <small><small>Verfasst von [[Horst Hischer]]</small></small>
 ==Übersicht==
-Die Untersuchung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorischen Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]] zeigt, wie sich aus ersten Ansätzen bei babylonischen Tabellen, bei der Erfindung von Notentexten, bei der Untersuchung und Darstellung zeitabhängigen [[Größe|Größen]], bei freihändig gezeichneten „Kurven“, bei „analytischen Ausdrücken“ (als [[Term|Termen]]) und bei graphischen und tabellarischen Darstellungen empirisch gewonnener Daten im 19. Jh. ein „termfreier“ Funktionsbegriff als „eindeutige [[Zuordnung]]“ entwickelt hat, der schließlich Anfang des 20. Jhs. auf der Grundlage der zuvor durch [http://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor Georg Cantor] begründeten Mengenlehre unter Bezug auf „geordnete Paare“ seine formal strenge und saubere Fassung als spezielle [[Relation]] erhalten hat. <ref>Vgl. hierzu die ausführlichen Betrachtungen in [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref>
+<div id="Übersicht"></div>Die Untersuchung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorischen Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]] zeigt, wie sich aus ersten Ansätzen bei babylonischen Tabellen, bei der Erfindung von Notentexten, bei der Untersuchung und Darstellung zeitabhängigen [[Größe|Größen]], bei freihändig gezeichneten „Kurven“, bei „analytischen Ausdrücken“ (als [[Term|Termen]]) und bei graphischen und tabellarischen Darstellungen empirisch gewonnener Daten im 19. Jh. ein „termfreier“ Funktionsbegriff als „eindeutige [[Zuordnung]]“ entwickelt hat, der schließlich Anfang des 20. Jhs. auf der Grundlage der zuvor durch [http://de.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor Georg Cantor] begründeten Mengenlehre unter Bezug auf „geordnete Paare“ seine formal strenge und saubere Fassung als spezielle [[Relation]] erhalten hat. <ref>Vgl. hierzu die ausführlichen Betrachtungen in [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref>
 ==Grundlegende Definitionen==
 Unter Bezug auf den mit „binäre Relation“ bezeichneten Begriff lässt sich „Funktion“ knapp und elegant definieren, wobei hier statt „binäre Relation“ kurz „[[Relation]]“ gesagt wird: <ref>Auch [Deiser 2010] definiert „Funktion“ als rechtseindeutige Relation.</ref><br /><div id="Abbildung"></div><div id="Operator"></div>
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 | „'''Funktion'''“ ist eine Kurzbezeichnung für „rechtseindeutige Relation“. ||
 • „'''Abbildung'''“ ist meist ein Synonym für „Funktion“.<br/>
-• „'''Operatoren'''“ sind ebenfalls Funktionen, wenn auch in speziellen Themenbereichen.
+• Ein „'''Operator'''“ ist ebenfalls eine Funktion, meist von einem Vektorraum in einen Vektorraum.<br />
+• Ein „'''Funktional'''“ ist ein Operator von einem „Funktionenraum“ in <math>\mathbb{R}</math> oder <math>\mathbb{C}</math> (z. B. „Integral“). <ref>Das macht die frühere Bezeichnung „Funktionenfunktion“ für „Funktional“ plausibel..</ref>
 |}
 Die Schreib- bzw. Sprechweisen „<math>f</math> ''ist eine Funktion''“ und „<math>f</math> ''ist eine rechtseindeutige Relation''“ sind also gemäß dieser Definition gleichbedeutend. Ihr liegt Folgendes zugrunde:
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 ===Funktionsgraph===
 * Die übliche o. g. Definition des Funktionsgraphen gemäß <math>{{\operatorname{G}}_{f}}:=\{(x,f(x))|x\in A\}</math> resultiert aus dem Wunsch der Darstellung der Wertepaare <math>(x,f(x))</math> durch ''Punkte in einem Koordinatensystem'', wobei diese Wertepaare <math>(x,f(x))</math> nicht notwendig numerischer Art sein müssen. Wenn nun aber eine Funktion formal streng als spezielle Relation definiert wird und eine Relation ja gerade eine Menge geordneter Paare ist, so erhalten wir <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math>.
-* Konsequenz: Es gibt keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' bezeichnen kann. <ref>Vgl. den ersten Abschnitt.</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte [[Funktionenplotter#Funktionsplot|Funktionsplot]]  ist damit eine Funktion.<br />
+* Konsequenz: Es gibt in formaler Hinsicht keinen Unterschied zwischen „Funktion“ und „Funktionsgraph“, wenn man beide so wie oben mengentheoretisch definiert. Das hat zur weiteren Konsequenz, dass der „Funktionsgraph“ bereits eine Funktion '''ist''' und man in der Tat beispielsweise eine ''„Parabel als quadratische Funktion“'' auffassen kann. <ref>Vgl. die in der [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Übersicht|Übersicht]] erwähnte [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|kulturhistorische Entstehung und Entwicklung des Funktionsbegriffs]].</ref> Auch der von einem [[Funktionenplotter]] erzeugte [[Funktionenplotter#Funktionsplot|Funktionsplot]] kann damit als eine „Funktion“ aufgefasst werden. <ref>Genauer: Sowohl die erwähnte „Parabel“ als auch die Funktionsplots sind eigentlich „Darstellungen“ einer Funktion, was die Frage aufwirft, worin der Unterschied zwischen einer Darstellung und dem dadurch Dargestellten besteht.</ref><br />
-Das führt zu einer durchaus erfreulichen Weite des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs leitet ueber zu den vielen „[[Funktion: viele Gesichter|Gesichtern von Funktionen]]“. <ref>Vgl. [Herget et. al. 2020].</ref> Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ beweistechnisch gute Möglichkeiten eröffnet.
+===Fazit===
+Diese Betrachtungen führen zunächst zu einer „Weite“ des mit „Funktion“ bezeichneten Begriffs auf und leiten ueber zu den vielen „[[Funktion: viele Gesichter|Gesichtern von Funktionen]]“. <ref>Vgl. [Herget et. al. 2020].</ref> Zugleich ist anzumerken, dass die mengentheoretische Auffassung von „Funktion als rechtseindeutiger Relation“ beweistechnisch gute Möglichkeiten eröffnet und dass in diesem Zusammenhang in „sauberer“ Sprechweise möglichst unterschieden werden sollte zwischen „die Funktion <math>f</math>“, „der Funktionswert <math>f(x)</math>“ und „graphische Darstellung von <math>f</math>“.
 == Literatur ==