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→Beispiele für Zahlenfolgen
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==Beispiele für Zahlenfolgen== | ==Beispiele für Zahlenfolgen== | ||
==Arithmetische Zahlenfolgen== | |||
Bei arithmetischen Folgen (erster Ordnung) bleibt die Differenz benachbarter Folgenglieder konstant: | Bei arithmetischen Folgen (erster Ordnung) bleibt die Differenz benachbarter Folgenglieder konstant: | ||
<math>a_n-a_{n-1}=d=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}+d.</math> Durch sukzessives Einsetzen der Vorgängerglieder erhält man eine funktionale Darstellung: <math>a_n=f(a_{n-1})=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=a_{n-2}+2d=\dots=a_0+nd=f(n).</math><br />Die Bezeichnung "arithmetisch" leitet sich davon ab, dass von drei benachbarten Gliedern einer arithmetischen Folge das mittlere immer das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist: | <math>a_n-a_{n-1}=d=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}+d.</math> Durch sukzessives Einsetzen der Vorgängerglieder erhält man eine funktionale Darstellung: <math>a_n=f(a_{n-1})=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=a_{n-2}+2d=\dots=a_0+nd=f(n).</math><br />Die Bezeichnung "arithmetisch" leitet sich davon ab, dass von drei benachbarten Gliedern einer arithmetischen Folge das mittlere immer das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist: | ||
<math>\frac{1}{2}\left( a_{n-1}+a_{n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(a_n-d+a_n+d\right)=a_n</math><br /> | <math>\frac{1}{2}\left( a_{n-1}+a_{n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(a_n-d+a_n+d\right)=a_n</math><br /> | ||
'' | '''Folge der natürlichen Zahlen'''<br /> | ||
<math>a_n=n=0+n\cdot 1=a_0+n\cdot d.</math><br /> | <math>a_n=n=0+n\cdot 1=a_0+n\cdot d.</math><br /> | ||
Die Folge der natürlichen Zahlen ist demnach die arithmetische Folge mit dem Startglied 0 und dem Gliedabstand 1. | Die Folge der natürlichen Zahlen ist demnach die arithmetische Folge mit dem Startglied 0 und dem Gliedabstand 1. | ||
''Folge der ungeraden natürlichen Zahlen''<br /> | '''Folge der ungeraden natürlichen Zahlen'''<br /> | ||
<math>a_n=1+n\cdot 2</math><br /> | <math>a_n=1+n\cdot 2</math><br /> | ||
Die o.g. Folge der ungeraden natürlichen Zahlen ist eine Teilfolge der ersten n natürlichen Zahlen. Betrachtet man hierzu die Partialsummenfolge erhält man die Quadratzahlen: | Die o.g. Folge der ungeraden natürlichen Zahlen ist eine Teilfolge der ersten n natürlichen Zahlen. Betrachtet man hierzu die Partialsummenfolge erhält man die Quadratzahlen: | ||
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Es ergibt sich weiter: | Es ergibt sich weiter: | ||
<math>s_{n+1}-s_n=\sum_{i=0}^{n}a_i-n^2=\sum_{i=0}^{n-1}a_i+a_{n}-n^2=n^2+(1+2n)-n^2=1+2n.</math><br /> | <math>s_{n+1}-s_n=\sum_{i=0}^{n}a_i-n^2=\sum_{i=0}^{n-1}a_i+a_{n}-n^2=n^2+(1+2n)-n^2=1+2n.</math><br /> | ||
Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d. | Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d.<br /> | ||
==Geometrische Zahlenfolgen== | |||
Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant: | |||
<math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}\cdot q.</math><br />Eine funktionale Darstellung ist gegeben durch: | |||
<math>a_n=a_0\cdot q^n.</math> <br/> | |||
Die Bezeichnung "geometrisch" bezeichnet die Eigenschaft, dass von je drei aufeinanderfolgenden Gliedern das mittlere Glied als geometrisches Mittel der beiden benachbarten Glieder auftritt: | |||
<math>\sqrt{|a_{n+1}||a_{n-1}|}=\sqrt{|q\cdot a_n||\frac{a_n}{q}|}=\sqrt{|a_n|^2}=|a_n|.</math> <br/> | |||
'''Beispiel DIN-Formate für Papier''' | |||
Beginnend von der Größe A0 (84,1 x 118,9 cm) halbiert man jeweils die längere Seite um zur nächstkleineren Größe A1, A2, ... zu gelangen. Betrachtet man nur die Änderungen der Seitenlängen bilden diese jeweils geometrische Folgen mit dem Faktor <math>q=\frac{1}{2}.</math> | |||
==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | ==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | ||