Weg-Zeit-Diagramme

Weg-Zeit-Diagramme sind eine spezielle Form der Darstellung von Sachverhalten, bei denen der Weg s von der Zeit t abhängt.

Dabei wird die Zeit t auf der Abzissen-, der Weg s auf der Ordinatenachse abgetragen.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann mit Hilfe des Differenzenquotienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t}} ermittelt werden. Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht dem Differentialquotienten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle lim_{\Delta t \rightarrow 0}{\frac{\Delta s}{\Delta t}}} bzw. der ersten Ableitung an der Stelle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0} .

Anwendung im Mathematikunterricht

Für den Mathematikunterricht kann man diese Form der Darstellung von Funktionen nutzen, um die Begriffe Ableitung, Differenzenquotient, Anstieg, usw. praxisnah zu erklären. Dabei kann eine Verbindung zum Physik-Unterricht und umgekehrt hergestellt werden.

Beispielaufgabe

Ein Auto fahre mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B. Dabei hat es folgende Wege nach folgenden Zeiten zurückgelegt:

Weg in m	Zeit in s
5	1
10	2
15	3
20	4

Zeichnet man diese Werte in ein Weg-Zeit-Diagramm, so entsteht folgender Graph:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(t)} ist eine lineare Funktion. Der Anstieg der Funktion entspricht der Durchschnittsgeschwindigkeit und kann über das Steigungsdreieck (Differenzenquotient) ermittelt werden:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m={\frac{\Delta s}{\Delta t}}={\frac{20m-5m}{4s-1s}}=5 \frac{m}{s}=\overline v} .

Damit hat man für die Bewegung des Autos eine Funktion gefunden: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(t)=5\frac{m}{s} \cdot t}

Die Momentangeschwindigkeit z.B. zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=2,5s} ermittelt man durch Bilden der Ableitung der Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(t)=5 \frac{m}{s} \cdot t} und Einsetzen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=2,5s} :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t)=s'(t)=5\frac{m}{s}}

Man erkennt, dass das Auto, egal zu welchem Zeitpunkt tatsächlich mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Es handelt sich um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t=2,5s)=s'(t=2,5s)=5 \frac{m}{s}}

Etwas eindrucksvoller ist die Betrachtung einer geradlinig beschleunigten Bewegung, etwa beim Anfahren eines Autos an einer Ampel:

Eine Auto beschleunige mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=3\frac{m}{s^2}} . Folgende Messwerte wurden aufgenommen:

Weg in m	Zeit in s
1,5	1
6	2
13,5	3
24	4
37,5	5
54	6

Hier erhält man für das Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(t)} -Diagramm folgenden Graph:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Der entstandene Funktionsgraph ist ein Teil einer Parabel 2. Grades.

Auch hier kann man die Durchschnittsgeschwindigkeit anhand des Differenzenquotienten ermitteln.

Die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(t)=\frac{a}{2}t^2+v_0t+s_0} beschreibt die Bewegung des Fahrzeugs. Da das Auto keine Anfangsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_0} hat und der Anfangsweg Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_0} ebenfalls 0 ist, verschwinden diese Terme aus der Ausgangsgleichung.

Es interessiert die (Momentan-) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=3,5s} .

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t)=s'(t)=2\cdot \frac{a}{2} \cdot t=a \cdot t}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t=3,5s)=s'(t=3,5s)=3\frac{m}{s^2} \cdot 3,5s=10,5 \frac{m}{s} }

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Weg-Zeit-Diagramme. Version vom 22.01.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Weg-Zeit-Diagramme&oldid=9521.