Folgen

Folgen sind integraler Bestandteil jedes Mathematiklehrgangs. Als Aufzählung von Objekten in bestimmter Reihenfolge findet man sie bereits in der Grundschule.

In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder Funktionen mit dem Definitionsbereich $\mathbb {N}$ (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet.

In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint.

Definition

Folgen lassen sich als Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Menge ${\mathcal {M}}$ auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden:

funktionale Definition
Hierbei wird jedes Folgenglied durch einen funktionalen Zusammenhang über den natürlichen Zahlen angegeben:
$a_{n}=f(n)$

z.B. Folge der Quadratzahlen
$a_{n}=n^{2}$

rekursive Definition
Jedes Folgenglied wird über einen eindeutigen funktionalen Zusammenhang zu seinen Vorgängern dargestellt (Rekursion):
$a_{n}=f(a_{n-1},...)$.

z.B. Fibonacci-Folge
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\\ a_0=0;\, a_1=1 \end{eqnarray}}

Es wird im Zusammenhang mit rekursiven Folgen auch von der iterativen Sichtweise gesprochen, da ein enger Zusammenhang mit der Beweisidee der vollständigen Induktion besteht.

Aufzählungsaspekt
Man gibt charakteristische (definierende) Eigenschaften der Folge an, z.B. Menge der Quadratzahlen in aufsteigender Reihenfolge. Bei dieser Art der Folgendefinition werden die Glieder endlich aufgezählt und dann beliebig nach der erkannten oder bekannten Struktur fortgesetzt. Der Aufzählungsaspekt entspricht der intuitiven Vorstellung einer Folge.

z.B. Folge der natürlichen Zahlen
$a_{n}=(0,1,2,3,4,\dotsc )$

Diskretisierungsaspekt Bei Problemen der Inhaltsbestimmung werden häufig Intervall, Gitter- oder Netzfolgen erzeugt. Zusammenhängende Mengen z.B. glatte Kurven, Flächen usw. werden dann in den Teilintervallen (Gittern, Netzen) durch Hilfsfunktionen approximiert und so das vorliegende kontinuierliche Problem diskretisiert:

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Folgen. Version vom 17.01.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Folgen&oldid=9366.