Baustelle:Methodische Konzepte

Allgemeines

Motivierung
Den größten methodischen Fehler, den Pädagogen durch die Theorieausbildung an der Uni machen, ist die Motivierung jeder einzelnen Themeneinheit oder sogar Lektion! Ein schwerwiegender Fehler bei der Vorbereitung auf das Leben, nur die Arbeiten auszuführen, die einen Sinn ergeben.
Nein, es kann von der 1. Klasse an nur eine immer wieder nahegebrachte (altersgemäße) Motivation geben, dass die Mathematik eine Querschnittswissenschaft ist, ohne die keine andere Wissenschaft bewertet werden kann und ohne die man nicht durchs Leben kommt!
Fast durchweg müssen Lehrer in der Berufspraxis kreativ dazulernen, weil viele Theoriekonzepte der Ausbildung nicht effektiv und praxiswirksam sind! Viele haben sicherlich auch erkannt, dass die Theorie der kleinen Schritte oder vom Einzelnen zum Komplexen bzw. Konkreten zum Allgemeinen nichts bringt, sondern nur, wenn das sachkomplexe Wesen und die digitale Einheit (Ganzheit) einer Sache gleichzeitig vermittelt wird! Letzteres muss unbedingt als neue pädagogische Philosophie Eingang in die Uni-Ausbildung finden!
Ebenso sind viele pädagogische Grundsätze falsch wie "Lernen, lernen nochmals lernen", also den Schülern das Lernen "aufbrummen", statt so zu lehren, dass fast alle den Lehrstoff vom Wesen/Kern her begreifen und durch wenige Übungen festigen können!

Zahlenlehre - Grundstufe

Zählen lernen
Neben den Zahlenstäbchen und Hunderter Tafel ist der beschriftete Abakus das effektivste handlungsorientierte Mittel. Alle Kugeln erhalten die "1", an der oberen und unteren Querstrebe werden kumulativ die Einer-Ziffern 1-10 und am linken Rahmenteil die dekadischen Ziffern 1-10(bis 100) angeschrieben. Sowohl die dekadische Wiederholung als auch der Zahlenaufbau mit der 1er-Reihe (Vorgänger, Nachfolger) als auch kleine Rechnungen (Summe + Differenz!) werden schneller begriffen! Die Methode des gemeinsamen Sprechens sollte immanenter Bestandteil sein!

Zur Grundrechnung

Zusammenzählen und Abziehen
Die Grundrechnung muss von Anfang an als Komplex behandelt werden! Nach den Übungen am Abakus muss zum Verständnis der Mathematik unbedingt vermittelt werden, dass die Zahl nicht nur Element und komplexe Einheit und bildhaft auch nicht ein (Koordinaten)Punkt auf der Zahlengeraden, sondern die Differenz zum Zählanfang 0 (Zahlenbild) als gerichteter Zahlenpfeil (+-) ist! Mit dem Aneinanderreihen der Zahlpfeile wird die Grundrechnung bildhaft (Verrechnungsbild) besser verstanden und später auch die Vektorrechnung in der Rückbesinnung!
Auch die 2 gleichen Möglichkeiten des Rückwärtszählens und der Abstand/Differenz von Pfeilspitze zu Spitze kommt so besser zum Tragen.
Es sollte mit der Grafik auch gleich die Zahlengerade eingeführt werden, denn Grundschüler können verstehen, dass geborgtes Geld negativ belastet ist, weil man es ja zurück geben muss! Es ist Vorbereitung für das untereinander Abziehen, denn da muss ja auch oben "geborgt" UND unten als Übertrag dazu geschrieben werden (Gesetz der doppelten Negation)!

3 grundlegende Rechenregeln
Alle Rechenregeln sind nur Ableitungen aus den 3 Grundrechenregeln, auf die ständig verwiesen werden sollte:

1. Regel: Nur Gleichartiges kann verrrechnet werden (Zahlen/Glieder)
2. Regel: Verrechnung von der höheren zur niederen Rechenart, nur Klammer extra, sonst egal.(Rechenart)(Ersetzt überflüssige Assoziativ-, Distributiv- und Kommutativgesetz!)
3. Regel: Gesetz der doppelten Negation (Kombination 1.+2.Regel)(Alle Umformungen, also ca. 80% Mathe)

Alle späteren "Regeln" reduzieren sich auf die Potenzregeln, die bei hintergründiger Erklärung aber auch nicht gelernt werden müssen!

Aufspalten/Zerlegen von Zahlen
Genau wie beim einen einzigen Lösungsweg aller Aufgaben das Aufspalten von Gliedern für das Umformen der 1. Schritt ist, muss für das Kopfrechnen das Aufspalten einer Zahl geübt und die Ergänzungszahlen beherrscht werden! Nichts macht das Gehirn in der Auffassungsgabe schneller als das Kopfrechnen!

Rechen-Spezialfall 1: Multiplizieren und Teilen

Wie in der Grundrechnung im Leben nicht benötigte Begriffe wie Addition, Subtraktion, Summand, Minuend und Subtrahend, sollten auch im 1. Rechenspezialfall Divisor und Divident entfallen, sowie vereinfachende Begriffe wie Ausgangszahl(Zähler) und nur Teiler(Nenner) benannt werden!

Hin- und Rückführung(Zerlegung):

                                                                       Faktor Grundzahl   
                    3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 30       =     10 · 3
                                                                Faktor  Anzahl
Zahlenreihen können mit der logischen Aussage „Ich soll die Zahl 3  10mal summieren“   
                  kürzer gefasst (codiert) werden als     Produkt „ 10 · 3summiert  “.
Multiplikation als Rechenweise und Produkt als Schreibform sind in der Praxis üblich.    
Ein Produkt  = Faktor mal Faktor:   24   =     4 × 6     =    6+6+6+6     =  2×10  +  4×1     oder    
                                    24   =     6 × 4     =    4+4+4+4+4+4  
                                 Zahl    Produkt(form)    Summen- (Normal-/Grundform) 
Da die Zahl auch eine Funktion ist, sollten bereits hier funktionale Begriffe eingeführt werden!
 

Das Kleine Einmaleins
Folgende Systematik erbringt den sichersten und schnellsten Erfolg: Nicht über Ziffernreihen, sondern man geht über die wenigen sich ergebenden Produktergebnisse des Einer-, 10er-, 20er- bis 80er-Bereiches. Es werden sowohl Wiederholungen durch Faktorentausch als auch falsche Ergebnisse vermieden.

  4   2·2   10   2·5        20   4·5        30   5·6       40   5·8   54   6·9   72   8·9   
  6   2·3   12   2·6; 3·4   21   3·7        32   4·8       42   6·7   56   7·8   
  8   2·4   14   2·7        24   4·6 ;3·8   35   5·7       45   5·9    
  9   3·3   15   3·5        25   5·5        36   6·6;4·9   48   6·8   63   7·9   81   9·9   
            16   4·4;2·8    27   3·9                       49   7·7   64   8·8   
            18   3·6;2·9    28   4·7   

Zählanfang 1 ist weggelassen, da es die Ziffer selber ist und ebenfalls das 10fache! Pro Tag nur einen 10er Bereich erlernen. Die Ergebniszahlen (fett) 5 min vorwärts (4 6 8 9) und 5 min rückwärts (9 8 6 4) laut einprägen. Dann die Produktabfolge (2·2, 2·3, 2·4, 3·3) mit Vertauschen der Faktoren der Reihe nach vorwärts 5min abfragen, dann rückwärts und erst zuletzt durcheinander. Der schnelle Lerneffekt liegt darin, dass beim Reihenweisen Abfragen das Ergebnis vorgespeichert ist und die dazugehörigen Produkte sich leichter einprägen. Ein falsches Ergebnis wird kaum genannt. Zusätzlicher Lerneffekt ist, dass einen Zähler unterhalb des Ergebnisses einer Quadratzahl das Produkt aus dem nächstniedrigeren mal dem nächsthöheren Faktor liegt!

Das Teilen auf ganze Zahlen - der ganzzahlige Bruch
Dieser Abschnitt ist die Einführung in die Bruchrechnung, aber vorerst noch mit ganzen Zahlen. Die Bruchrechnung wird hier als Teilerverhältnis ganzer Zahlen auf ganzzahlige Ergebnisse dargestellt. Sie ist die Gegenrechnung zur Multiplikation und gleichzeitig die erste höhere Stufe der Minusrechnung (Differenz).

     15 – 3  – 3  – 3  – 3  – 3  =  0   = 15 + 5· (–3)        0   |    |    |    |    | 15
     15  :  5(gleiche Teile / Teiler)   = 3  (Teilgröße)    0 = –3  –3   –3   –3   –3  +15     
  Im Gegensatz zu  5 · 3summiert   = 15   (5faches von 3)  dem Vervielfachen    
        wird  15 + (5 ·3abgezogen) =  0   exakt  15 – (3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 0  gerechnet.  
                 Anzahl· Grundzahl 

Größen, Vorsätze und Einheiten
In höheren Klassen gibt es immer wieder große Probleme mit der Einheiten„umrechnung“. Um dies zu vermeiden, muss beim Einführen von Einheiten erklärt werden, dass der 1. Buchstabe bis auf wenige Ausnahmen nicht die Einheit, sondern ein Vergrößerungs- oder Verkleinerungsvorsatz, also selber ein Zahlenfaktor, genauer ein „volles“ Vielfaches bzw. „voller“ Teiler von 10 ist!

z.B.   1 Stückchen Torte (10 Teile) ist 1/10 oder  0,1 oder 1 Dezi (d) gross.  

Dies macht das Um- oder Zusammenschreiben verschiedener „Einheiten“ leichter, denn nach Rechenregel 
1  dürfen nur gleichartige Einheiten verrechnet werden!  

Buchstabe mal Grundeinheit (K · m)      oder         Zahl mal Grundeinheit (1000· m)  
z.B.   4 Km + 5 m    =     4     Km     oder         4000  m     da  4 (K)m = 4· (1000) · m  
                        +  0,005 Km                +    5  m          
                           4,005 Km       =          4005  m   

 1·m = 1· K/1000 m = 1/1000 Km = 0,001Km ; die „Einheit“ vergrößert sich im selben Maße, wie sich der Zahlenfaktor verkleinert oder umgekehrt (indirekte Proportionalität):  
1 m = 100 c×m = 100 · 1/100  · m   also  1 m = 100fach ·1 cm,   damit ist 1 cm das Gegenteil vom 100fachen, das ist der 100ste Teil   
Der Begriff „Erweitern“ mit „1 = K/1000“  ist einzuführen!  
  Desgleichen:   1 Km2  =  1× (K × m)2   =  1× K2 × m2   =  1 × 1000 2 m2   =  1.000.000 m2   
                1 cm2   =  1× (c × m)2   = 1 × c2 × m2   =  1 ×(1/100)2 m2  =  1/10000 ×  m2   
              Ungenau      exakt, denn „Quadrat“(hoch 2) gehört auch zu „K“ bzw. zu „c“ 

Sachaufgaben
Alle Sachaufgaben in der Grundstufe sind darauf gerichtet, die Grundrechnung und ihren 1. Spezialfall grundlegend zu beherrschen.
Der erste und schwierigste Vorgang bei der Lösung ist dabei das Herausfinden des richtigen Lösungsansatzes, denn mit einem falschen Ansatz ist die gesamte Lösung falsch und die Rechnung umsonst! Da das Rechnen immer das Gleiche ist, sollten vorrangig lieber von ca. 10 -15 Aufgaben nur der jeweilige Ansatz gefunden werden! Jede Rechenaufgabe hat immer wieder den gleichen Rechenweg / Rechenablauf :

Aufgabenstellung: Wichtigster Schritt, die Aufgabe richtig zu verstehen, gegeben und   
                  gesucht herausschreiben, bei längerem Text symbolhaft Stichpunkte  
Lösungsansatz :   Gleichung oder Ungleichung mit einer Gesuchten x (Unbekannten)  
Lösung:           Glieder umformen / umstellen, richtiges Rechnen mit Rechenregeln 1 bis 3  
Lösungsergebnis:  Unbekannte als Zahlergebnis sowie Antwortsatz,  
                  später Berechnungsformel oder Funktion mit Grafik (Bild) und Auswertung