Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben (auch Optimierungsaufgaben genannt) sind typische Aufgaben des Analysisunterrichtes der Sekundarstufe II, die Anwendungsbeispiele für meist idealisierte Probleme darstellen. Diese Probleme werden mit Hilfe von Techniken gelöst, die im Rahmen der Kurvendiskussion vermittelt werden und die Bedeutung von Minima und Maxima von Funktionen ausnutzen.

Mathematikdidaktische Beschreibung

„Unter Extremwertaufgaben versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine Funktion von zwei Veränderlichen[Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“

Algorithmus zur Lösung von Extremwertaufgaben

Allgemeiner Algorithmus

1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion (Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen.

3.Schritt: Berechnen Sie die lokalen Extremstellen im Definitionsbereich.

4.Schritt: Sind die lokalen Extremstellen auch global? Untersuchen Sie die Randwerte der Funktion (wenn der Definitionsbereich eingeschränkt ist) oder den Grenzwert im Unendlichen (wenn der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist).

5.Schritt: Wie ist das Ergebnis (im Sachkontext) zu interpretieren?

$\rightarrow$ Ähnliche Algorithmen finden sich bei: und

Anwendungsbeispiel: Optimale Dose

Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von $1l$ haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?

(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so, oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.)

1. Zu optimieren ist der Oberflächeninhalt $A$ der Dose (eines Zylinders).

$A=2\pi r^{2}+2\pi rh$

Da $r$ und $h$ Strecken darstellen, sind $r$ und $h$ positive reelle Zahlen und größer als Null.

2. $A=2\pi (r)^{2}+2\pi (r)[h]$

$A$ hängt zunächst von den beiden Variablen $r$ und $h$ ab, folglich muss über die Nebenbedingung $V=1l=1dm^{3}=1.000cm^{3}$ eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise $h$).

$V=\pi r^{2}h$ $\Rightarrow$ $h={\frac {V}{\pi r^{2}}}={\frac {1000}{\pi r^{2}}}$ ($h$ bzw. $r$ sind in $cm$ anzugeben)

3.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} A &= &2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\\ A' &= &4\pi r - \frac{2000}{r^2}\\ 0& =& 4\pi r - \frac{2000}{r^2}\\ &\rightarrow& r ≈ 5,419cm \end{eqnarray}}

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle A´´ = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 } für alle $r>0$ -> lokales Minimum bei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle r ≈ 5,419cm }

4. Betrachtet man den Grenzwert für $r$ gegen Null, bzw. für $r$ gegen unendlich, so wird auch der Oberflächeninhalt $A$ unendlich groß. Da es kein weiteres Minimum gibt, ist das oben berechnete lokale Minimum auch das globale Minimum dieser Funktion.

5. $r$ ist bereits unter 3. berechnet wurden. $h$ ergibt sich aus $V=\pi r^{2}h$ und beträgt rund $10,839cm$. Demnach betragen die optimalen Maße einer Dose mit einem Volumen von einem Liter: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle r ≈ 5,419cm } und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle h ≈ 10,839cm } .

Kognitive Probleme von Schülerinnen und Schülern

Folgende kognitive Probleme können Schülerinnen und Schülern beim Umgang mit Extremwertaufgaben begegnen:

• Es kann ihnen schwer fallen, Haupt- und Nebenbedingungen zu finden und diese zu unterscheiden, bzw. in Formeln auszudrücken, falls sie in Textform gegeben sind.

• Extremwertaufgaben können komplexe Sachverhalte beinhalten und/oder sich an praktischen Problemen orientieren, sodass die Schülerinnen und Schüler die rein mathematische Lösung auf diese übertragen müssen.

• Schülerinnen und Schüler könnten Probleme beim Angeben des Definitionsbereichs haben, da sich dieser teilweise aus der Aufgabenstellung oder der praktischen Anwendung und nicht aus der Funktion an sich ergibt.

• Extremwertaufgaben aus Lehrbüchern können den Schülerinnen und Schülern bisher unbekannte Formulierungen enthalten und somit die Mathematisierung des Aufgabentextes erschweren.

• Viele Extremwertaufgaben sind eindeutig lösbar, jedoch entstehen hinsichtlich der Modellierungskompetenz im Rahmen der Kompetenzorientierung auch Modellierungsaufgaben ohne eindeutige Lösung, was für Schülerinnen und Schüler ungewohnt sein kann.

• Für Schülerinnen und Schüler könnte es irritierend sein, dass nicht alle mathematischen Lösungen auch gleichzeitig Lösungen des praktischen Problems darstellen und dass sie dies begründen müssen.

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Extremwertaufgaben. Version vom 29.01.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Extremwertaufgaben&oldid=9788.