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Baustelle:Gleichung
Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss.
Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.
Beispiel: 2+3x=16
Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.
Weiterhin können mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet werden. Man betrachtet dann ein Gleichungssystem. Dieses System von Gleichungen enthält mehrere Variablen, die gleichzeitig gesucht werden.
Die Klassizierung der Gleichungen
In diesem Abschnitt werden die für die 5.-10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
Lineare Gleichung
In einer Gleichung 1. Grades tritt die Unbekannte genau in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form: ax+b=0 mit x ungleich 0
| z.B. x + 1 = 0 |
Quadratische Gleichung
In einer Gleichung 2. Grades tritt die Unbekannte genau in der 2. Potenz auf. Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 mit x² ungleich 0
| z.B. x²+x -2 = 0 |
Kubische Gleichung
In einer Gleichung 3. Grades tritt die Unbekannte genau in der 3. Potenz auf. Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 mit x³ ungleich 0
| z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0 |
Bruchgleichung
Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.
| z.B. 3/x - 36 = 23 |
Lösungsstrategien
Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen aus.
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden[1].
Grafische Lösungen
am Beispiel einer linearen Funktion Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0
Gleichungssysteme
Gleichsetzungsverfahren
Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.
Einsetzungsverfahren
Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.
Additionsverfahren
Hier werden Gleichungen addiert. Dazu wird zunächst jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert. Das führt dazu, dass die Parameter einer Unbekannten in beiden Gleichungen gleich groß sind. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.