Übersicht [1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik mit Bezug auf den Gebrauch in der Philosophie im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet, und so wird es im einfachsten Fall im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen bzw. genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, also darum, ob   zu   „gehört“ bzw. ob und wie   zu   „in Beziehung steht“, falls etwa   und   gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie   oder eine Ungleichung wie   beschrieben werden
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit   bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare   aus der „Produktmenge“   gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge   als „Relation zwischen   und   – oder genauer: als „Relation von   nach   – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in   anstelle von   und   beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge   als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit   bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit   bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung   als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien   Mengen und   (also  ).
Für beliebige Objekte   gilt::
 ||   heißt „geordnetes Paar“.

Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass   gilt.
  lässt sich rekursiv zum geordneten  -Tupel   verallgemeinern.
Spezielle Namen sind für  Tripel“ und für  Quadrupel“.

:     heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von   und  ).

  lässt sich rekursiv zu   verallgemeinern.

  ist genau dann eine  -stellige Relation, wenn   nur aus geordneten  -Tupeln besteht. 2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
  ist genau dann eine Relation von   nach  , wenn   gilt. Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
  ist genau dann eine Relation in  , wenn   gilt. Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart::  

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen [2]

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung:   seien Mengen,   und  . Die nachfolgenden Erläuterungen deuten   als einen „Pfeil von   nach  .
  ist symmetrisch   Es gilt für alle   wenn   dann  . Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).
  ist asymmetrisch   Es gilt für alle   wenn   dann nicht  . ) Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).
  ist identitiv   Es gilt für alle   wenn   und   dann  . Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich.
  ist transitiv   Es gilt für alle   wenn   und   dann  . Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen).
  ist reflexiv in    Es gilt für alle    . Überall Schleifen.
  ist irreflexiv in    Es gilt für alle   nicht  . Nirgends Schleifen.
  ist konnex in    Es gilt für alle     oder  . Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen.
  • Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in  , was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

  • Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

  1. Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].
  2. Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]