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Vorstellungen von 0,99999...
Der Dezimalbruch 0,99999... mit der Eigenschaft 0,99999...=1 findet als Zahl keine explizite Erwähnung in den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen, verursacht aber häufig Konflikte in den Schülervorstellungen.
Beweise für 0,99999...=1
Rechnerische Verfahrenen [1]
Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren, so kann zum Beispiel mit Hilfe der Bruchrechnung gezeigt werden, dass aus dem mathematische Zusammenhang 1/9 = 0,11111... = 0,11111... folgt: 1 = 1/9 *9 = 0,99999... = 0,99999...
Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei I x = 0,99999... (= 0,9 Periode 9) II 10x = 9,99999... II-I liefert dann 9x = 9,00000..., also x = 9/9 = 1. Mit I folgt dann (0,9 Periode 9) = 1.
Anschauliche Darstellung[2] (Bild einfügen!)
Der Zusammenhang kann auch anschaulich bewiesen werden. Man konstruiere einen Zahlenstrahl, der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort leicht die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1 so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99: 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo (0,9 Periode 9) = 0,99999... liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" (0,9 Periode 9) = 1.
Widerspruchsbeweis [3]
Man nehme an, dass (0,9 Periode 9) < 1 ist. Dann gibt es ein ε, das den Abstand von (0,9 Periode 9) zu 1 beschreibt. Zur Veranschaulichung sei nun ε = 0,000000001. Dann ist ε = 1 - (0,9 Periode 9) oder anders ausgedrückt ε + (0,9 Periode 9) = 1. Andererseits gilt aber I ε = 0,000.000.001 II (0,9 Periode 9) = 0,999.999.999.999...
Mit I+II folgt ε + (0,9 Periode 9) = 1,000.000.000.999 > 1, was einen Widerspruch zur Annahme bildet. Führt man nun diesen Beweis mit ε = 10^(-k) mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit war die Annahme falsch. Da (0,9 Periode 9) > 1 ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass (0.9 Periode 9) = 1 ist. Es gibt also kein Abstand ε zwischen 0,9 Periode 9) und 1, egal wie klein er gewählt wird.
Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen [4]
Es ist möglich (0,9 Periode 9) als unendliche geometrische Reihe zu schreiben, also (0,9 Periode 9) = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9*1+ 0,9*(1/10) + 0,9*(1/100) + ... = Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n. Aus der Analysis ist bekannt, dass für die Reihen Summe von n=0 bis ∞ mit a*q^n = a/(1-q) mit 0 < q < 1. Für unseren Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1: Summe von n=0 bis ∞ mit 0,9*(1/10)^n = 0,9 / (1 - 0,1) = 0,9 / 0,9 = 1.
Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)
In der Studie "Mathematik, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu (0,9 Periode 9)"[5] untersuchte Ludwig Bauer die Erwartungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) gegenüber der natürlichen Zahl (0,9 Periode 9). Dabei ergab sich insgesamt, dass 70 % der SuS die Meinung vertreten (0,9 Periode 9) < 1, lediglich 30 % entschieden sich für (0,9 Periode 9) = 1. Hieraus kann schließt er, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für (0,9 Periode 9) < 1 stimmten [6]. Außerdem ist interessant, dass (0,9 Periode 9) < 1 in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte Infinitesimalrechnung, welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung.
Schülerargumente für (0,9 Periode 9) < 1 [7]
" Es fehlt immer noch ein Stückchen" "(0,9 Periode 9) ist ganz minimal kleiner als 1" "Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren" " (0,9 Periode 9) ergibt nur gerundet 1" Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen (0,9 Periode 9) und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, anderen sehen (0,9 Periode 9) als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.
Schülerargumente gegen (0,9 Periode 9) < 1[8]
"Das haben wir gelernt" "Weil es so ist" "(0,9 Periode 9) = 9/9 = 1" "Da die (0,9 Periode 9) ims Unendliche geht und sich der 1 annähert, kann man sagen, dass (0,9 Periode 9) = 1 ist."
Insgesamt wirken die Argumentationen hier unsicherer. Sätze, die ähnlich der ersten beiden treten häufiger auf. Dennoch argumentieren einige SuS auch mit den oben erklärten Zugängen und im weitesten Sinne wird eine Annäherung an die Grenzwerte gewagt.
Zusammenfassung
Innerhalb der Studie lässt sich deutlich erkennen, dass die SuS verschiedene mathematische Aspekte verwenden um ihre Entscheidung zu begründen. Weiterhin scheint ihnen der mathematische Charakter der (0,9 Periode 9) weitestgehend vage und diffus zu sein. Es dominieren anschaulich- intuitive Vorstellungen und Argumente. Die SuS konstruieren aber ihre Begründungen selbst, es werden selten Begründungen der Lehrerinnen respektive Lehrer übernommen. Außerdem ist bei den Schülerinnen und Schülern die Vorstellung vorherrschend, dass die Zahl (0,9 Periode 9) den Prozess der Annäherung an die 1 beschreibt, während in der Mathematik das Ergebnis des Prozesses, nämlich (0,9 Periode 9) = 1, gemeint ist.