Lösungsmenge

Eine „Lösungsmenge“ ist die „Menge aller Lösungen“ eines gegebenen mathematischen Problems unter gegebenen Bedingungen (wie etwa Anfangs- und Randbedingungen). Solche Bedingungen lassen sich mit Hilfe von Aussageformen beschreiben, so etwa mit einem System von Gleichungen und Ungleichungen. Im Mathematikunterricht geht es i. d. R. um Lösungsmengen von Gleichungen oder Ungleichungen.

Mathematischer Sachverhalt

Es sei $A(x)$ eine Aussageform und $M$ eine Menge zulässiger bzw. sinnvoller Einsetzungen für $x$ in $A(x)$, sodass bei Einsetzung eines konkreten Wertes für $x$ in $A(x)$ entweder eine wahre oder eine falsche Aussage entsteht.

Ist nun $\varnothing \neq G\subseteq M$ und $L:=\{x\in G|A(x)\}$ (d. h.: $L$ ist die Menge aller derjenigen Elemente aus $G$, die $A(x)$ in eine wahre Aussage überführen, die also $A(x)$ „lösen“), so heißt $L$ „Lösungsmenge“ von $A(x)$ bezüglich der gewählten Grundmenge $G$. Diese Lösungsmenge könnte man auch genauer mit $L_{A(x),G}$ oder – wenn keine Missverständnisse entstehen – kurz mit $L_{G}$ bezeichnen, um damit deutlich zu machen, dass sie nicht nur von der Aussageform $A(x)$ abhängig ist, sondern insbesondere auch von der jeweiligen Grundmenge $G$. Diese Grundmenge kann z. B. eine Menge von Zahlen, von Zahlenpaaren, von Vektoren, von Funktionen oder von geometrischen Objekten wie Punkten, Strecken, Figuren usw. sein. So hat beispielsweise eine numerische Gleichung per se noch keine Lösungsmenge, vielmehr hängt diese wesentlich von der gewählten (bzw. noch zu wählenden) Grundmenge ab.
Sofern die Grundmenge $G$ mehr als ein Element enthält ($|G|>1$), können prinzipiell folgende Fälle auftreten:

1. $L=\varnothing$: Es gibt keine Lösung in $G$, die Aussageform ist in $G$ unlösbar.
2. $\varnothing \neq L\subset G$: Die Aussageform ist in $G$ (teilweise) lösbar.
3. $L=G$: Die Aussageform ist in $G$ allgemeingültig. (Sie ist in diesem Fall natürlich erst recht auch „lösbar“!)

Didaktische Aspekte

Es ist nicht sinnvoll, im Mathematikunterricht bei der Betrachtung von numerischen Gleichungen bereits dann von „Lösungsmengen“ zu sprechen, wenn noch nicht die Erfahrung gemacht worden ist, dass Gleichungen keine oder viele Lösungen haben können. Dieser Fall tritt zwar bei quadratischen Gleichungen auf, jedoch ist an dieser Stelle die Bezeichnung „Lösungsmenge“ noch nicht zwingend erforderlich, weil es hier ja nur genau eine Lösung, zwei Lösungen oder keine Lösung gibt. Die Bedeutung von Lösungsmengen zeigt sich z. B., wenn man Ungleichungen betrachtet.

Beispiel: Gesucht seien (die) Lösungen von $-2<x\leq 3$. Hier wird die Abhängigkeit von der Grundmenge deutlich (selbst wenn der Mengenbegriff nicht verfügbar sein sollte), was sich wie folgt notieren lässt:

• $L_{\mathbb {N} }=\{0,1,2,3\}$, $L_{\mathbb {Z} }=\{-1,0,1,2,3\}$, $L_{\mathbb {R} }={]-2,3]}$ (halboffenes Intervall).
  

Vollrath empfiehlt zum Verständnis von „Lösungsmenge“ die Betrachtung von solchen Gleichungen, die Terme der sog. Ganzteilfunktion enthalten („Integer-Funktion“, früher auch „Gauß-Klammer“ genannt, heute „ceil“ als „Abrundungsfunktion“, ferner zusätzlich „floor“ als „Aufrundungsfunktion“).
Betrachtet man z. B. die Gleichung $\lfloor x\rfloor =2$, so ist $L={[2,3[}$ .

Literatur

• Vollrath, Hans-Joachim: Didaktik der Algebra. Stuttgart 1974, Klett Studienbücher

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2018): Lösungsmenge. Version vom 17.04.2018. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=L%C3%B6sungsmenge&oldid=29883.