Baustelle:Probleme von Eindeutigkeit beim Kreisschnitt

In dynamischer Geometriesoftware kommt es mitunter zu Fällen, die im schulischen Kontext zu Verwirrung und Unverständnis führen. Besonders, wenn es um die Eindeutigkeit von bestimmten Objekten geht, tritt dieses Problem zutage. Ein einfaches und einleuchtendes Beispiel in diesem Zusammenhang stellen Schnitte am Kreis dar.

Illustration des Problems

Kreisschnitt

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1. Ausgangslage
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2. Bewegung des Kreises, sodass es keinen Schnitt mit der Gerade gibt
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3. Bewegung zurück

Ausgangslage: Schon in diesem Fall beobachten wir einen Bestandteil des Problems. Der Schnitt eines Kreises mit einer Geraden ist nicht eindeutig in dem Sinne, dass ein (Schnitt)Punkt entsteht, mit dem weiter gearbeitet werden soll.
Bewegung des Kreises Eine zweite Ebene des Problems der Eindeutigkeit zeigt sich, wenn wir den Kreis mithilfe unserer dynamischen Geometriesoftware bewegen.
Bewegung zurück So zeigt sich bei der Bewegung zurück ein Problem: Die Vertauschung der beiden Schnittpunkte.

Abhängige Objekte am Kreis

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Zustand 1
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Zustand 2

Zustand 1 Definiere nun eine Gerade durch Punkt P und den Mittelpunkt des Kreises.
Zustand 2 Bei der oben beschriebenen Bewegung springt diese Gerade und verändert seine relative Lage zum Punkt B.

Eine problematische Anwendung: Konstruktion der Wurzel von x²

Nun soll noch gezeigt werden, welche Auswirkung diese Problemstellung auf eine anwendungsbezogene Konstruktion hat. Dabei geht es um die Konstruktion der Wurzel von x². Bei der Konstruktion mit Geogebra ist x ein freier Punkt, mit dem über die Von-Staudt-Konstruktion x² erzeugt wird. Von x² konstruieren wir dann über den Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck die Wurzel und tragen sie mithilfe des Kreises um den Nullpunkt auf den Zahlenstrahl ab. Es entstehen wie in der Ausgangslage oben zwei Punkte, die x und -x entsprechen.

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Konstruktion des Quadrates von x und der Wurzel von x².
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Wenn nun x in den negativen Bereich unserer Skala verschoben wird, bleibt die Konstruktion von x² stabil, aber es überlagern sich die verschiedenen Wurzeln von x.

Forschungsumfeld

Die Dokumentation zu Cinderella durch Ulrich Kortenkamp und Jürgen Richter-Gebert rollt diese Erscheinung im Rahmen einer Abhandlung zu gewünschten Eigenschaften von DGS wie Stetigkeit und Kontinuität auf und verortet dort auch das Problem der Eindeutigkeit.

Literaturangaben

http://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehrstuhl/PublikationenJRG/37_GrundlagenDG.pdf