Übersicht [1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik mit Bezug auf den Gebrauch in der Philosophie im Sinne von „Beziehung“ verwendet, und so wird es im einfachsten Fall im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen bzw. genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, also darum, ob   zu   „gehört“ bzw. ob und wie   zu   „in Beziehung steht“, falls etwa   und   gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie   oder eine Ungleichung wie   beschrieben werden
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit   bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare   aus der „Produktmenge“   gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge   als „Relation zwischen   und   – oder genauer: als „Relation von   nach   – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in   anstelle von   und   beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge   als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit   bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit   bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung   als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen Anmerkungen
Für beliebige Objekte   gilt::
 ||   heißt „geordnetes Paar“.

Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass   gilt.
  lässt sich rekursiv zum geordneten  -Tupel   verallgemeinern.
Spezielle Namen sind für  Tripel“ und für  Quadrupel“.

Für beliebige Mengen   gilt::     heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von   und  ).

  lässt sich rekursiv zu   verallgemeinern.

Für alle   ist eine  -stellige Relation eine Menge, die nur aus geordneten  -Tupeln besteht. 2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
Beispiel Beispiel
Beispiel Beispiel
Beispiel Beispiel


Literatur

  • Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

  1. Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].