Vorstellungen von 0,99999...

Der Dezimalbruch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9}} mit der Eigenschaft Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} = 1} verursacht häufig Konflikte in den Schülervorstellungen. In den Lehrplänen respektive Rahmenrichtlinien der Schulen wird dieses Thema meist nicht explizit erwähnt.

Beweise für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 1}

Rechnerische Verfahren

Eine erste Variante der Behandlung der Zahl 0,99999... ist die Verwendung rechnerischer Verfahren. So kann zum Beispiel mit Hilfe der Bruchrechnung gezeigt werden, dass aus dem mathematischen Zusammenhang Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{1}{9} = 0,11111... = 0,\overline{1} } folgt:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 = \frac{1}{9} \cdot 9 = 0,99999... = 0,\overline{9}}

Der Beweis durch Verwendung von Gleichungen ist wie folgt möglich: Es sei
I Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x= 0,99999... (= 0,\overline{9}) }
II Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 10 x = 9,99999... }
II-I liefert dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9 x = 9,00000...} , also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \frac{9}{9 } = 1} .
Mit I folgt dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9}= 1} .

Anschauliche Darstellung

Der Zusammenhang kann auch anschaulich dargestellt werden. Man konstruiere einen Zahlenstrahl, der den Zahlenbereich von 0 bis 1 abbildet. Man kann dort die Zahl 0,9 eintragen. Daraufhin vergrößern wir den Bereich zwischen 0,9 und 1. Nun lässt sich die Zahl 0,99 eintragen. Vergrößert man nun den Bereich zwischen 0,99 bis 1, so lässt sich wiederum die Zahl 0,999 eintragen. Man sieht, dass die Glieder der Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... also immer näher an die 1 heranrücken. Verbindet man dies mit der Überlegung, wo Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 0,99999...} liegen könnte , erhalten wir "anschaulich" Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 1} .

Widerspruchsbeweis
Man nehme an, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} < 1} ist. Dann gibt es ein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon } , das den Abstand von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9}} zu 1 beschreibt. Zur Veranschaulichung sei nun Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \epsilon = 0,000.000.001 } . Dann ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \epsilon = 1 - 0,\overline{9}} oder anders ausgedrückt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \epsilon + 0,\overline{9} = 1} .
Andererseits gilt aber
I Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon = 0,000.000.001}
II Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} = 0,999.999.999.999...}
Mit I+II folgt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon + 0,\overline{9} = 1,000.000.000.999 > 1} , was einen Widerspruch zur Annahme bildet.
Führt man nun diesen Beweis mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon = 10^{-k} } mit k aus den natürlichen Zahlen, erhält man einen Widerspruch zur Annahme für alle k aus den natürlichen Zahlen. Somit erweist sich die als Annahme falsch. Da Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} > 1} ausgeschlossen werden kann, stellt man fest, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 1} ist. Es gibt also keinen Abstand Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon } zwischen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} } und 1, egal wie klein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon } gewählt wird.

Beweise mit unendlichen geometrischen Reihen

Es ist möglich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} } als unendliche Summe einer geometrischen Reihe zu schreiben, also
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... = 0,9 \cdot 1+ 0,9 \cdot \frac{1}{10} + 0,9 \cdot \frac{1}{100} + ... = \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} } . Aus der Analysis ist bekannt, dass für die Reihen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} a\cdot q^n = \textstyle \frac{a}{1-q} } für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < q < 1 } gilt. In unserem Fall gilt also mit a = 0,9 und q = 0,1:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{\infty} 0,9\cdot\frac{1}{10^n} = \frac {0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1} .

Schülervorstellungen zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} }

In der Studie "Mathematikunterricht, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9}} " untersuchte Ludwig Bauer die Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern (SuS) zu Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9}} . Dabei ergab sich insgesamt, dass etwa 70% der SuS die Meinung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} < 1} vertreten, lediglich 30 % entschieden sich für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 1} . Hieraus kann man schließen, dass der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen nicht verhindern konnte, dass die SuS mit großer Mehrheit für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} < 1} stimmten . Außerdem ist interessant, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} < 1} in der befragten Klassenstufe 12 mit 91 % die stärkste Zustimmung fand. Anscheinend führte sogar die bereits gelehrte Infinitesimalrechnung, welche die intensive Beschäftigung mit Grenzwerten einschließt zu einer Verstärkung der Ablehnung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} = 1 } .

Schülerargumente für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} < 1}

"Es fehlt immer noch ein Stückchen"
"Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9}} ist ganz minimal kleiner als 1"
"Periode geht unendlich fort, wird die 1 aber nie berühren"
"Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9} } ergibt nur gerundet 1"

Hier kristallisieren sich verschiedene Argumentationsstrategien heraus: Viele SuS nehmen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9}} und 1 als deutlich unterscheidbare Objekte wahr, andere sehen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0,\overline{9}} als Folge, deren Glieder sich der 1 annähern, sie aber nie erreichen. Auch wird der Bezug zu Rundungvorgängen hergestellt.

Schülerargumente gegen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} < 1}

"Das haben wir gelernt"
"Weil es so ist"
"Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} = \frac{9}{9} = 1} "
"Da die Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9}} ins Unendliche geht und sich der 1 annähert, kann man sagen, dass Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} = 1} ist."

Insgesamt wirken die Argumentationen hier unsicherer. Sätze, ähnlich den ersten beiden sind, treten häufiger auf. Dennoch argumentieren einige SuS auch mit den oben erklärten Zugängen und im weitesten Sinne wird auch eine Annäherung an die Grenzwerte gewagt.

Zusammenfassung

Durch die Studie lässt sich deutlich erkennen, dass die SuS verschiedene mathematische Aspekte verwenden um ihre Entscheidung zu begründen. Weiterhin scheint ihnen der mathematische Charakter der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0,\overline{9} } weitestgehend vage und diffus zu sein. Es dominieren anschaulich- intuitive Vorstellungen und Argumente. Die SuS konstruieren aber ihre Begründungen selbst, es werden selten Begründungen der Lehrerinnen respektive Lehrer übernommen. Außerdem ist bei den Schülerinnen und Schülern die Vorstellung vorherrschend, dass die Zahl $0,{\overline {9}}$ den Prozess der Annäherung an die 1 beschreibt, während in der Mathematik das Ergebnis des Prozesses, nämlich $0,{\overline {9}}=1$, gemeint ist. Eine Weiterentwicklung der Schülervorstellungen auf diesem Gebiet würde auch einen Fortschritt der Schülerinnen und Schülern im Kompetenzbereich Zahl bedeuten.

Konsequenzen für die Behandlung der Zahl $0,{\overline {9}}$

Mit Blick auf die oben skizzierten Schülervorstellungen lässt sich feststellen, dass Brüche zwischen innermathematischer Klärung und ursprünglichem Verstehen unvermeidlich für einen sinnstiftenden Umgang mit Mathematik sind. Eine Grundlage für die systematische Behandlung der $0,{\overline {9}}$ bilden die genetischen Spiralcurricula der Bundesländer. Beginnend mit der Bruchrechnung in Klasse 6 kann mittels der Darstellung $0,{\overline {9}}=9\cdot {\frac {1}{9}}=1$ der erste Beweis geführt werden. Dieses Ergebnis erscheint allerdings eher oberflächlich und wenig nachhaltig. Deshalb ist das erneute Aufgreifen der Zahl in höheren Klassenstufe unabdingbar. Eine erste Wiederholung des Zusammenhanges wäre nach der Einführung von Gleichungssytemen möglich, um die Herleitung durch Verwendung von Gleichungen zu realisieren. Zur abschließenden Wiederholung wäre dann noch einmal der Beweis mit Hilfe von Reihen innerhalb der Sekundarstufe II möglich. Mit Blick auf die Ergebnisse der Studie von Ludwig Bauer muss auf die Behandlung der Zahl $0,{\overline {9}}$ in der Oberstufe geachtet werden, die Behandlung des Grenzwertbegriffes und die Einführung der Infinitesimalrechnung sollte die Wiederholung unterstützen. Weiterhin weist Bauer darauf hin, dass "... im Sinne eines genetisch-konstruktivistischen Lernverständnisses [...] auch dieser indirekte Beweis alleine nicht ausreichend [ist]. Eine einzelne unterrichtliche Aktion, sei es ein Rechenverfahren oder ein Beweis, hat wohl eher nur die Wirkung einer „Überredung“ der Schülerinnen und Schüler. Eine echte „Überzeugung“, dass $0,{\overline {9}}=1$ und dass $0,{\overline {9}}$ der Grenzwert der Folge 0,9, 0,99 usw. ist, entwickeln die Schülerinnen und Schüler wohl nur dann, wenn sie alle bisher gesammelten Erfahrungen aufeinander beziehen und reflektieren."

Zitatquellen und verwendete Literatur

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2015): Vorstellungen von 0,99999.... Version vom 13.11.2015. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Vorstellungen_von_0,99999...&oldid=22769.