Baustelle:Gleichung

Definition

Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss.

Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.

Beispiel: 2+3x=16

Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.

Klassifizierung der Gleichungen

In diesem Abschnitt werden die für die 5. bis 10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.

Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a≠0 und sei x reell:

Lineare Gleichung

In einer Gleichung ersten Grades tritt die Unbekannte nur in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form:

ax + b = 0 mit x ≠ 0

z.B. x + 1 = 0

Quadratische Gleichung

In einer Gleichung zweiten Grades ist die höchst auftretende Potenz der Unbekannten die zwei. Allgemeine Form:

ax² + bx + c = 0 mit x² ≠ 0

z.B. x² + x - 2 = 0

Kubische Gleichung

In einer Gleichung dritten Grades ist die höchst auftretende Potenz der Unbekannten die zwei. Allgemeine Form:

ax³ + bx² + cx + d = 0 mit x³ ≠ 0

z.B. x³ - 2x² + x - 2 = 0

Bruchgleichung

Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.

z.B. 3/x - 36 = 0 mit x ≠ 0

Gleichungssysteme

Ein Gleichungssystem ist ein System von Gleichungen, die mehrere Unbekannte enthalten. Hier werden nur die schulrelevanten lineare Gleichungssysteme und deren Lösungsstrategien betrachtet.

Gleichsetzungsverfahren

Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.

Einsetzungsverfahren

Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.

Additionsverfahren

Hier werden Gleichungen addiert. Dazu wird zunächst jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert. Das führt dazu, dass die Parameter einer Unbekannten in

beiden Gleichungen gleich groß sind. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.

Lösungsstrategien

Äquivalente Umformungen einer Gleichung

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen mit gleichen Zahlen aus.

Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden [1].

Grafisches Lösungen von Gleichungen

Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit, Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe der Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen.

In Zeiten von solchen Computerprogrammen, wie z.B. GeoGebra, CAS-Rechner und grafikfähigem Taschenrechner bietet das grafische Lösungsverfahren eine zeitsparende Alternative zu den algebraischen Lösungsmethoden.

Vorgehensweise:

Beim grafischen Lösen einer Gleichung muss man jede Seite der Gleichung als Funktion interpretieren und den bzw. die Schnittpunkte dieser betrachten. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten der Schnittpunktskoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar.