Baustelle:Gleichung

Definition

Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.

Beispiel: 2+3x=16

Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.

Weiterhin können mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet werden. Man betrachtet dann ein Gleichungssystem. Dieses System von Gleichungen enthält mehrere Variablen, die gleichzeitig gesucht werden.

Die Klassizierung der Gleichungen

In diesem Abschnitt werden die für die 5.-10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt.

Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0

Lineare Gleichung

In einer Gleichung 1. Grades tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form: ax+b=0

z.B. x + 1 = 0

Quadratische Gleichung

In einer Gleichung 2. Grades tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. Allgemeine Form: ax²+bx+c=0

z.B. x²+x -2 = 0

Kubische Gleichung

In einer Gleichung 3. Grades tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf. Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0

z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0

Bruchgleichung

Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.

z.B. 3/x - 36 = 23

Lösungsstrategien

Äquivalente Umformungen einer Gleichung

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei der Wahrheitgehalt unverändert bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen aus.

Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden[1].

Grafische Lösungen

am Beispiel einer linearen Funktion Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0

Gleichungssysteme

Gleichsetzungsverfahren

Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.

Einsetzungsverfahren

Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.

Additionsverfahren

Hier werden Gleichungen addiert. Dazu wird zunächst jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert. Das führt dazu, dass die Parameter einer Unbekannten in beiden Gleichungen gleich groß sind. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.