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Baustelle:Lineare Funktionen neu: Unterschied zwischen den Versionen
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* Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz". | * Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz". | ||
* Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben. | * Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben. | ||
* Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt <math>f(x)=m·x</math>, also ist dann <math>b=0</math>. Funktionen vom Typ <math>f(x)=m·x+b</math> müssten daher eigentlich ''„affine Funktionen“'' genannt werden, kompromissweise ist | * Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt <math>f(x)=m·x</math>, also ist dann <math>b=0</math>. Funktionen vom Typ <math>f(x)=m·x+b</math> müssten daher eigentlich ''„affine Funktionen“'' genannt werden, kompromissweise ist auch ''„affin-lineare Funktionen“'' denkbar. | ||
* Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ <math>f(x)=m·x</math>, also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“. | * Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ <math>f(x)=m·x</math>, also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“. | ||
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Aktuelle Version vom 14. Juni 2016, 15:13 Uhr
Übersicht
Die meist so genannten „linearen Funktionen“ gehören zu den ersten sog. „elementaren Funktionen“, die im Mathematikunterricht auftreten.
Für den schulischen Kontext gilt folgende umfassende
Definition:
- Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }
mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\in \mathbb{R}}
, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b\in \mathbb{R}}
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x+b}
für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in \mathbb{R}}
.
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist dann eine lineare Funktion.
Das Schaubild des Funktionsgraphen von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist eine Gerade mit der Steigung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} . Stellt man diese Gerade in einem kartesischen Koordinatensystem mit der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse als Rechtsachse und der Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse als Hochachse dar, so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} der sog. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achsenabschnitt, die Gerade verläuft also durch den Punkt mit den Koordinaten Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0;b)} .
Ergänzungen und Anmerkungen
- Im Mathematikunterricht tauchen lineare Funktionen anfangs noch nicht von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} auf, sondern allenfalls von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Q}} in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Q}} oder sogar nur von Teilmengen davon.
- Es sind „Steigung“ und „Anstieg“ zu unterscheiden: Der Anstieg ist die (absolute) „Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten auf einer Geraden, die Steigung ist hingegen die „relative Höhendifferenz“ zwischen zwei Punkten einer Geraden, also der Quotient aus der absoluten Höhendifferenz und der absoluten "Entfernungsdifferenz".
- Die Steigung kann man – wie bei Verkehrsschildern üblich – auch in Prozent angeben.
- Die (übliche) Bezeichnung „lineare Funktion“ ist für die hier betrachteten Funktionen eigentlich nicht korrekt: Geht man nämlich davon aus, dass „Abbildung“ und „Funktion“ Synonyme sind, so wird das Problem sofort klar, denn für eine „lineare Abbildung“ gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x} , also ist dann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=0} . Funktionen vom Typ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x+b} müssten daher eigentlich „affine Funktionen“ genannt werden, kompromissweise ist auch „affin-lineare Funktionen“ denkbar.
- Die im Mathematikunterricht anzutreffende Bezeichnung „proportionale Funktion“ ist vom Typ Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=m·x} , also im Sinne der (Linearen) Algebra eine „lineare Abbildung“.
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