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* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
* Eine '''Relation in einer Menge''' ist genau dann eine '''Äquivalenzrelation''', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
* Eine '''Relation in einer Menge''' ist genau dann eine '''Halbordnungsrelation''', wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
* Eine '''Relation in einer Menge''' ist genau dann eine '''Totalordnungsrelation''', wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
* Eine '''Relation in einer Menge''' ist genau dann eine '''Striktordnungsrelation''', wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.


==Literatur==
==Literatur==

Version vom 20. August 2013, 16:56 Uhr

Übersicht [1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik mit Bezug auf den Gebrauch in der Philosophie im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet, und so wird es im einfachsten Fall im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen bzw. genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, also darum, ob zu „gehört“ bzw. ob und wie zu „in Beziehung steht“, falls etwa und gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie oder eine Ungleichung wie beschrieben werden
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare aus der „Produktmenge“ gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge als „Relation zwischen und – oder genauer: als „Relation von nach – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung bzw. Struktur nicht verliert, wenn man in anstelle von und beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation liegt“ das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit bezeichnet, wobei es im Gegensatz zur mit bezeichneten Menge auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt. In diesem Sinne kann man die Darstellung als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden, aber dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) gelang es 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien Mengen und (also ).
Für beliebige Objekte gilt::
||  heißt „geordnetes Paar“.

Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass gilt.
lässt sich rekursiv zum geordneten -Tupel verallgemeinern.
Spezielle Namen sind für Tripel“ und für Quadrupel“.

: heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von und ).

lässt sich rekursiv zu verallgemeinern.

ist genau dann eine -stellige Relation, wenn nur aus geordneten -Tupeln besteht. 2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen damit nur aus geordneten Paaren.
ist genau dann eine Relation von nach , wenn gilt. Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
ist genau dann eine Relation in , wenn gilt. Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart::

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen [2]

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung: seien Mengen, und . Die nachfolgenden Erläuterungen deuten als einen „Pfeil von nach .
ist symmetrisch Es gilt für alle wenn dann . Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).
ist asymmetrisch Es gilt für alle wenn dann nicht . ) Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).
ist identitiv Es gilt für alle wenn und dann . Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich.
ist transitiv Es gilt für alle wenn und dann . Wenn überhaupt eine Verbindung, dann eine kürzeste (Existenz von Überbrückungspfeilen).
ist reflexiv in Es gilt für alle . Überall Schleifen.
ist irreflexiv in Es gilt für alle nicht . Nirgends Schleifen.
ist konnex in Es gilt für alle oder . Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen.
  • Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in , was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

  • Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

  1. Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].
  2. Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]