Zahlenbereiche

Definition

Zahlenbereiche sind Mengen von Zahlen, wobei diese durch bestimmte Eigenschaften definiert sind. In jedem Bereich existieren arithmetische Gesetzmäßigkeiten, mit denen man innerhalb der Menge operieren kann.

Arten von Zahlenbereichen

Datei:Zahlenbereich.png

Übersicht Zahlenbereiche

ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ0 = ℕ ∪ {0}

ℤ = {x | x ∈ ℕ0 v –x ∈ ℕ0}

ℚ = {mit m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}

ǁ= Menge der unendlichen und nichtperiodischen Kommazahlen

ℝ = ℚ ∪ ǁ

ℂ = {z | z = x+iy mit x,y ∈ ℝ, x=Re z, y=Im z} ; i = imaginäre Einheit

Gesetzmäßigkeiten

Natürliche Zahlen

Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht. Peano-Axiome:

(P1) 1∈ ℕ

(P2) Falls n∈ ℕ, dann gibt es einen Nachfolger n‘ in ℕ, n‘ = n+1

(P3) 1 ist kein Nachfolger

(P4) n, m ∈ ℕ und n‘= m‘ → n=m

Kommutativgesetz für Addition: m+n=n+m

Assoziativgesetz für Addition: (m+n)+k=m+(n+k)

Kommutativgesetz für Multiplikation: m*n=n*m

Assoziativgesetz für Multiplikation: (m*n)*k=m*(n*k)

Distributivgesetz: m*(n+k)=m*n+m*k