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Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= ax^2+bx+c (mit a ≠ 0) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-b/2a;4ac-b^2)/4a). Für a= 0 ergibt sich eine [[lineare Funktion]]. | Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= ax^2+bx+c (mit a ≠ 0) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem [[Scheitelpunkt]] S(-b/2a;4ac-b^2)/4a). Für a= 0 ergibt sich eine [[lineare Funktion]]. | ||
== Einfluss der Parameter a, b und c == | == Einfluss der Parameter a, b und c == | ||
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===Parameter c=== | ===Parameter c=== | ||
Die Veränderung des Vorfaktors c bedingt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung. | Die Veränderung des Vorfaktors c bedingt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung. | ||
==Scheitelpunkt / Scheitelpunktform== | |||
Der [[Scheitelpunkt]] trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem [[absoluten Minimum]] (für a>0) bzw. [[absoluten Minimum]] (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes [[Koordinatensystem]] eingezeichnet werden. | |||
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann: | |||
für f(x)=a(x+d)^2+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e) | |||
==Spezialfälle quadratischer Funktionen== | ==Spezialfälle quadratischer Funktionen== | ||
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Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p^2)/4)+q) | Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p^2)/4)+q) | ||
==Scheitelpunkt== | |||
Version vom 2. Januar 2013, 10:07 Uhr
Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= ax^2+bx+c (mit a ≠ 0) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-b/2a;4ac-b^2)/4a). Für a= 0 ergibt sich eine lineare Funktion.
Einfluss der Parameter a, b und c
Parameter a
Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax^2, so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.
Parameter b
Bei einer Veränderung des Vorfaktors b kommt es sowohl zu einer Verschiebung des Graphen in x-Richtung als auch in y-Richtung.
Parameter c
Die Veränderung des Vorfaktors c bedingt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung.
Scheitelpunkt / Scheitelpunktform
Der Scheitelpunkt trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem absoluten Minimum (für a>0) bzw. absoluten Minimum (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:
für f(x)=a(x+d)^2+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e)
Spezialfälle quadratischer Funktionen
y=x^2
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Wertebereich: 0 ≤ y < + ∞
Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)
y=ax^2+c
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Wertebereich
füra>0: c ≤ y < + ∞
füra<0: - ∞ < y ≤ c
Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)
y=(x+d)^2+e
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Wertebereich: e ≤ y < + ∞
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-d;e)
Normalform
Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞
Wertebereich: (-(p^2)/4)+q ≤ y < + ∞
Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p^2)/4)+q)