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Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0 | Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0 | ||
==1. lineare Gleichung== | |||
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. | In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. | ||
Allgemeine Form: ax+b=0 | Allgemeine Form: ax+b=0 | ||
z.B. x + 1 = 0 | z.B. x + 1 = 0 | ||
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In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. | In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. | ||
Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 | Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 | ||
z.B. x²+x -2 = 0 | z.B. x²+x -2 = 0 | ||
3. kubische Gleichung | ==3. kubische Gleichung== | ||
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf | In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf | ||
Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 | |||
z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0 | |||
=3. Lösungsstrategien= | =3. Lösungsstrategien= | ||
==3.1 Äquivalente Umformungen einer Gleichung== | |||
Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt. | Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt. | ||
Eine Gleichung kann als [[Gleichgewichtszustand einer Waage]] gedeutet werden. | Eine Gleichung kann als [[Gleichgewichtszustand einer Waage]] gedeutet werden. | ||
==3.2 Grafische Lösungen== [am Beispiel einer linearen Funktion] | |||
Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0 | Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0 | ||
==3.3 Gleichungssysteme== | |||
===3.3.1 Gleichsetzungsverfahren=== | |||
3.3.2 Einsetzungsverfahren | ===3.3.2 Einsetzungsverfahren=== | ||
3.3.3 Additionsverfahren | ===3.3.3 Additionsverfahren=== | ||
=4. Literatur= | =4. Literatur= | ||
Version vom 11. Dezember 2012, 12:27 Uhr
1. Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen. z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1. Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung.
Beispiele: 3(a+b) = a − b 2 x2+3 x = 16
Gleichungen gehören nach den Zahlen zu den ersten mathematischen Errungenschaften der Menschheit. Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa zurück, der etwa um 1180 bis etwa 1250 lebte.
2. Die Klassizierung der Gleichungen
Da zu jedem Typ von Gleichung ein spezieller Lösungsweg gehört, ist es wichtig, dass man feststellen kann mit welchem Typ von Gleichung man es gerade zu tun hat. Hierfür werden einige gängige Typen von Gleichungen aufgelistet:
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
1. lineare Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form: ax+b=0
z.B. x + 1 = 0
2. quadratische Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. Allgemeine Form: ax²+bx+c=0
z.B. x²+x -2 = 0
3. kubische Gleichung
In einem linearen Gleichungssystem tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0
z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0
3. Lösungsstrategien
3.1 Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt. Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden.
==3.2 Grafische Lösungen== [am Beispiel einer linearen Funktion] Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0