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Baustelle:Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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=Definition=
=Definition=
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder [[Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre [[Aussage]] entstehen muss.  
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder [[Aussageform|Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre [[Aussage]] entstehen muss. <ref>http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_01.htm</ref> Dabei wird die Menge von Zahlen, deren Elemente, eingesetzt für die Variable, eine wahre Aussage ergeben, als [[Lösungsmenge]] L bezeichnet.  


Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite.   
Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung.   
Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.
Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.


Beispiel: 2+3x=16
Beispiel: 2+3x=16


Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.
Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.[http://www.library.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-01-Biographie.html]


Weiterhin können mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, betrachtet werden. Man betrachtet dann ein Gleichungssystem. Dieses System von Gleichungen enthält mehrere Variablen, die gleichzeitig gesucht werden.
=Klassifizierung der Gleichungen=


=Die Klassizierung der Gleichungen=
In diesem Abschnitt werden die für die 5. bis 10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.


In diesem Abschnitt werden die für die 5.-10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.  
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a≠0 und sei x reell:
=====Lineare Gleichung=====
In einer Gleichung ersten Grades tritt die Unbekannte nur in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form:


Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
=====Lineare Gleichung=====
In einer Gleichung 1. Grades tritt die Unbekannte genau in der 1. Potenz auf.  Allgemeine Form: '''ax+b=0''' mit x ungleich 0
{| class="wikitable" border="1"
{| class="wikitable" border="1"
|z.B. x + 1 = 0
|ax + b = 0 mit x ≠ 0
|}
|}
z.B. x + 1 = 0


=====Quadratische Gleichung=====   
=====Quadratische Gleichung=====   
In einer Gleichung 2. Grades tritt die Unbekannte genau in der 2. Potenz auf.
In einer Gleichung zweiten Grades ist Zwei die höchste auftretende Potenz der Unbekannten.
Allgemeine Form: '''ax²+bx+c=0''' mit x² ungleich 0
Allgemeine Form:
{| class="wikitable" border="1"
{| class="wikitable" border="1"
|z.B. x²+x -2 = 0
|ax² + bx + c = 0 mit x² ≠ 0
|}
|}
 
z.B. x² + x - 2 = 0
=====Kubische Gleichung=====
=====Kubische Gleichung=====
In einer Gleichung 3. Grades tritt die Unbekannte genau in der 3. Potenz auf.   
In einer Gleichung dritten Grades ist Drei die höchste auftretende Potenz der Unbekannten.   
Allgemeine Form: '''ax³+bx²+cx+d=0''' mit x³ ungleich 0
Allgemeine Form:
{| class="wikitable" border="1"
{| class="wikitable" border="1"
|z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0
|ax³ + bx² + cx + d = 0 mit x³ ≠ 0  
|}
|}
z.B. x³ - 2x² + x - 2 = 0
=====Bruchgleichung=====
Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor. <br /><br />
z.B. 3/x - 36 = 0 mit x ≠ 0


=====Bruchgleichung=====
Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.
{| class="wikitable" border="1"
|z.B. 3/x - 36 = 23
|}


=Lösungsstrategien=
=Lösungsstrategien=
===Äquivalente Umformungen einer Gleichung===
===Äquivalente Umformungen einer Gleichung===
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen aus.
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen mit gleichen Zahlen aus.
 
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden [http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/zahl/gleich/lingl/selbstlin/waagemodell.htm].
 
===Grafisches Lösen von Gleichungen===
 
Beim grafischen Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten muss jede Seite der Gleichung als Funktion dieser Unbekannten betrachtet werden. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten ihrer Schnittpunktkoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar.
 
 
=Gleichungssysteme und ihre Lösungsverfahren=
 
Ein Gleichungssystem enthält mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Hier werden nur die schulrelevanten linearen Gleichungssysteme und deren Lösungsstrategien betrachtet.
 
===Gleichsetzungsverfahren===
 
Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.


Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden[http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/zahl/gleich/lingl/selbstlin/waagemodell.htm].
===Einsetzungsverfahren===
Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in eine andere Gleichung ein.


===Das grafische Lösungen von Gleichungen===
===Additionsverfahren===
Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit, Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe der Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen.
Hier werden Gleichungen addiert oder subtrahiert. Dazu werden zunächst mindestens zwei Gleichungen mit einer jeweils geeigneten Zahl so multipliziert, dass die Parameter '''einer''' Unbekannten in '''beiden''' Gleichungen betragsmäßig gleich werden. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.


In Zeiten von solchen Computerprogrammen, wie GeoGebra, CAS-Rechner und grafikfähigem Taschenrechner bietet das grafische Lösungsverfahren eine zeitsparende Alternative zu den algebraischen Lösungsmethoden.
=Didaktischer Kommentar=
'''Grafisches Lösen von Gleichungen'''<br />


Beim grafischen Lösen einer Gleichung muss man jede Seite der Gleichung als Funktion interpretieren und den bzw. die Schnittpunkte dieser betrachten. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten der Schnittpunktskoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar.
Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe von Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen.


===Gleichungssysteme===
Technische Hilfsmittel, wie z.B. Dynamische Geometrieprogramme, CAS-Rechner und grafikfähige Taschenrechner bieten mit den grafischen Lösungsverfahren oft eine zeitsparende Variante zu den algebraischen Lösungsmethoden.
{| class="wikitable" border="1"
 
|-
Eine weitere meist im Unterricht eingesetzte Methode des grafischen Lösens von Gleichungen ist das Arbeiten mit der Normalform.  
! Gleichsetzungsverfahren
Dies ist ein Spezialfall des oben beschriebenen allgemeinen Verfahrens. Dazu formt man die Gleichung des jeweiligen Grades (1) in die Normalform um (2) und betrachtet diese als Funktion der Unbekannten des jeweiligen Grades (3).
! Einsetzungsverfahren
 
! Additionsverfahren
<br />'''Beispiel:'''
|-
Für eine Gleichung 2. Grades betrachte die Funktion:
| Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.
  (1) ax²+bx=d mit a≠0
| Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.
  (2) ax²+bx-d=0
| Hier werden Gleichungen addiert. Dazu wird zunächst jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert. Das führt dazu, dass die Parameter '''einer''' Unbekannten in '''beiden''' Gleichungen gleich groß sind. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.
  (3) y=ax²+bx-d<br />
|-
Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ist dann die gesuchte Lösung der gegebenen Gleichung.<br />


|}
Zum Einzeichnen eines Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem ist auch das Erstellen einer [[Wertetabelle]] hilfreich.


=Literatur=
=Literatur=
*Beutelspacher, A. (2011): Survival-Kit Mathematik: Mathe-Basics zum Studienbeginn. Vieweg+Teubner Verlag.
*Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss [http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-Mathe-Haupt.pdf]
*Gellert, W., Küstner H. (Hrsg.) (1972): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Deutsch Harri GmbH.
==Weblinks==
<references />

Aktuelle Version vom 21. Februar 2013, 12:55 Uhr

Definition

Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. [1] Dabei wird die Menge von Zahlen, deren Elemente, eingesetzt für die Variable, eine wahre Aussage ergeben, als Lösungsmenge L bezeichnet.

Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.

Beispiel: 2+3x=16

Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.[1]

Klassifizierung der Gleichungen

In diesem Abschnitt werden die für die 5. bis 10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.

Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a≠0 und sei x reell:

Lineare Gleichung

In einer Gleichung ersten Grades tritt die Unbekannte nur in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form:

ax + b = 0 mit x ≠ 0

z.B. x + 1 = 0

Quadratische Gleichung

In einer Gleichung zweiten Grades ist Zwei die höchste auftretende Potenz der Unbekannten. Allgemeine Form:

ax² + bx + c = 0 mit x² ≠ 0

z.B. x² + x - 2 = 0

Kubische Gleichung

In einer Gleichung dritten Grades ist Drei die höchste auftretende Potenz der Unbekannten. Allgemeine Form:

ax³ + bx² + cx + d = 0 mit x³ ≠ 0

z.B. x³ - 2x² + x - 2 = 0

Bruchgleichung

Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.

z.B. 3/x - 36 = 0 mit x ≠ 0


Lösungsstrategien

Äquivalente Umformungen einer Gleichung

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen mit gleichen Zahlen aus.

Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden [2].

Grafisches Lösen von Gleichungen

Beim grafischen Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten muss jede Seite der Gleichung als Funktion dieser Unbekannten betrachtet werden. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten ihrer Schnittpunktkoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar.


Gleichungssysteme und ihre Lösungsverfahren

Ein Gleichungssystem enthält mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Hier werden nur die schulrelevanten linearen Gleichungssysteme und deren Lösungsstrategien betrachtet.

Gleichsetzungsverfahren

Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.

Einsetzungsverfahren

Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in eine andere Gleichung ein.

Additionsverfahren

Hier werden Gleichungen addiert oder subtrahiert. Dazu werden zunächst mindestens zwei Gleichungen mit einer jeweils geeigneten Zahl so multipliziert, dass die Parameter einer Unbekannten in beiden Gleichungen betragsmäßig gleich werden. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.

Didaktischer Kommentar

Grafisches Lösen von Gleichungen

Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe von Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen.

Technische Hilfsmittel, wie z.B. Dynamische Geometrieprogramme, CAS-Rechner und grafikfähige Taschenrechner bieten mit den grafischen Lösungsverfahren oft eine zeitsparende Variante zu den algebraischen Lösungsmethoden.

Eine weitere meist im Unterricht eingesetzte Methode des grafischen Lösens von Gleichungen ist das Arbeiten mit der Normalform. Dies ist ein Spezialfall des oben beschriebenen allgemeinen Verfahrens. Dazu formt man die Gleichung des jeweiligen Grades (1) in die Normalform um (2) und betrachtet diese als Funktion der Unbekannten des jeweiligen Grades (3).


Beispiel: Für eine Gleichung 2. Grades betrachte die Funktion:

 (1) ax²+bx=d mit a≠0 
 (2) ax²+bx-d=0 
 (3) y=ax²+bx-d

Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ist dann die gesuchte Lösung der gegebenen Gleichung.

Zum Einzeichnen eines Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem ist auch das Erstellen einer Wertetabelle hilfreich.

Literatur

  • Beutelspacher, A. (2011): Survival-Kit Mathematik: Mathe-Basics zum Studienbeginn. Vieweg+Teubner Verlag.
  • Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss [3]
  • Gellert, W., Küstner H. (Hrsg.) (1972): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Deutsch Harri GmbH.

Weblinks