Entwicklung qualitativ-inhaltlicher Vorstellungen zu Konzepten der Analysis durch den Einsatz interaktiver Visualisierungen - Gestaltungsprinzipien und empirische Ergebnisse

Andrea Hoffkamp (2011): Entwicklung qualitativ-inhaltlicher Vorstellungen zu Konzepten der Analysis durch den Einsatz interaktiver Visualisierungen - Gestaltungsprinzipien und empirische Ergebnisse. Dissertation, Technische Universität Berlin.
Betreut durch Ulrich Kortenkamp .
Begutachtet durch Ulrich Kortenkamp und Andreas Filler.
Erhältlich unter http://www.math.hu-berlin.de/~hoffkamp/hauptfile_veroeffentlicht.pdf
Note: sehr gut mit Auszeichnung.
Tag der mündlichen Prüfung: 4.11.2011.

Zusammenfassung

Die Anfänge

Einen Ausgangspunkt dieser Arbeit bildete die Veröffentlichung einer neuen Version der Dynamischen Geometrie Software Cinderella. Eine Neuerung dieser Version bestand in der Einbindung einer Programmierschnittstelle. Durch Nutzung der eingebauten funktionalen Scriptsprache CindyScript ergaben sich ganz neue Möglichkeiten über rein geometrische Themen hinaus. Insbesondere eröffneten sich neue Chancen der interaktiven Arbeit mit Funktionen. Hieraus entwickelten sich zunächst einige sehr grobe Grundfragen, die den Ausgangspunkt bildeten:

• Welche Möglichkeiten des DGS-Einsatzes im Bereich Funktionen bzw. Funktionales Denken sind gegeben und was zeichnet diese besonders aus?
• Wie kann man diese Möglichkeiten gewinnbringend nutzen?

Beispielsweise konnte man mannigfache funktionale Zusammenhänge auf verschiedenste Art und Weise in Applikationen visualisieren. Das führte zu Fragen wie:

• Wie müssen solche Applikationen und applikationsbasierte Lernumgebungen gestaltet sein, um Lernen zu ermöglichen? Was ist hier sinnvoll und was nicht?
• Was sehen Nutzer der Applikationen, wenn sie Objekte bewegen? Werden lediglich geometrische Objekte manipuliert oder wird funktional gedacht bzw. wie soll man überprüfen, ob jemand funktional denkt?

Inhaltliche Fokussierung

Die inhaltliche Fokussierung erfolgte im weiteren Verlauf der Arbeit fast automatisch in eine bestimmte Richtung. Eine Stärke von DGS-basierten Applikationen liegt in der Dynamisierung, die von Simultanität in verschiedenen Darstellungsformen funktionaler Abhängigkeiten geprägt ist. Basierend auf der Lektüre diverser Arbeiten zu Schwierigkeiten mit dem Funktionsbegriff und mit funktionalem Denken wurden einige Testaufgaben zusammengestellt, die Mathematikstudierenden des ersten Semesters an der TU Berlin sowie Schülerinnen und Schülern eines Berliner Gymnasiums am Ende der 10. Klasse gestellt wurden. Die Lösungen der Testaufgaben bestätigten die Ergebnisse diverser anderer Autoren. Es zeigt sich, dass viele Lernende funktionale Abhängigkeiten als rein statische Phänomene wahrnehmen, also deren Zuordnungsaspekt sehen, während eine dynamische Sicht (Änderungsaspekt) und eine Sicht auf Funktion als Objekt (Objektaspekt) oft Schwierigkeiten bereitet. Die Nutzung von DGS ermöglicht aber die Hervorhebung der beiden letztgenannten Aspekte. Eine typische Verwendung von Funktionen liegt gerade in der Beschreibung von Änderungsverhalten, welches seinerseits natürlicherweise zu Konzepten der Analysis führt. Durch spezielle Gestaltung der interaktiven Visualisierungen kann man den Änderungsaspekt und den Objektaspekt funktionaler Abhängigkeiten erlebbar machen und dadurch einen intuitiven Zugang zu Konzepten der Analysis schaffen. Dies ist insofern von Bedeutung, als dass dem Analysisunterricht häufig dessen Kalkülorientierung vorgeworfen wird. Somit hat sich für die Arbeit folgender inhaltlicher Fokus ergeben: Die Entwicklung und Umsetzung interaktiver Lernumgebungen, die - basierend auf der Idee des dynamischen Darstellungstransfers bei Funktionen - einen inhaltlich-qualitativen Zugang zu Konzepten der Differential- und Integralrechnung in einem propädeutischen Analysisunterricht ermöglichen sollen und vor der Behandlung des Kalküls eingesetzt werden können.

Der Aufbau der Arbeit

Die Arbeit weist zwei große Teile auf: Der erste Teil dient der Entwicklung und Darstellung der begrifflichen und (lern-)theoretischen Grundlagen. Dabei wird der begriffliche Rahmen abgesteckt und begründet. Darauf basierend werden die Designprinzipien der interaktiven Lernumgebungen vorgestellt und analysiert. Diese werden schließlich lerntheoretisch verortet, um dann im zweiten Teil der Arbeit einer empirischen Studie unterzogen zu werden.

Kapitel 1: Funktionales Denken und Analysis

In Kapitel 1 werden die zugrunde liegenden Begrifflichkeiten herausgearbeitet, woraus schließlich die Problemlage und die Grobziele der Arbeit entwickelt werden. Der Begriff des funktionalen Denkens und sein Bezug zur Analysis ist dabei von zentraler Bedeutung. Es wird begründet, inwiefern der Begriff funktionales Denken, so wie er in der Meraner Reform (1905) formuliert wurde, als Grundlage für diese Arbeit dient und warum dies insbesondere zu Konzepten der Analysis führt. Weiterhin werden besondere Schwierigkeiten von Lernenden mit dem Funktionsbegriff und funktionalem Denken beschrieben. Diese Schwierigkeiten führen schließlich zur Formulierung der Problemlage und der Grobziele der Arbeit, welche als Beitrag zu einem qualitativ-inhaltlichen Zugang zur Differential- und Integralrechnung zu verstehen ist. Die Lernumgebungen sollen es ermöglichen Konzepte der Analysis in einem propädeutischen Analysisunterricht zu erfahren und zu entwickeln, bevor das Kalkül behandelt wird.

Kapitel 2: Grundideen und Gestaltungsprinzipien der interaktiven Visualisierungen

In Kapitel 2 werden die Grundideen und Gestaltungsprinzipien der interaktiven Lernumgebungen anhand der Lernumgebung Dreiecksfläche beschrieben und erörtert. Die interaktiven Visualisierungen akzentuieren die dynamische Komponente des funktionalen Denkens durch dynamischen Repräsentationstransfer zwischen Situation und Graph. Durch eine zweistufige dynamische Visualisierung wird dabei sowohl der Änderungsaspekt als auch der Objektaspekt funktionaler Abhängigkeiten hervorgehoben und erlebbar gemacht. Dabei stehen qualitative Betrachtungen funktionaler Abhängigkeiten und deren Beschreibung im Vordergrund. Es zeigt sich, dass die Lernumgebung Dreiecksfläche zu einer qualitativen Entdeckung von Funktionseigenschaften (wie Monotonie oder Existenz einer Wendestelle) und derer qualitativen Beschreibung führen kann. Darüber hinaus zeigt die Lernumgebung über einen propädeutischen Zugriff auf die Analysis auch ihre Qualitäten hinsichtlich des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Auf die Darstellung der Gestaltungsprinzipien folgt eine Erörterung der Rolle von Visualisierungen in Mathematik und Mathematikunterricht allgemeinerer Natur, durch die weitere Aspekte ergänzt werden. Abschließend wird die Herangehensweise im Vergleich zu anderen Ansätzen mit Technologieeinsatz beim Thema Funktionen und Analysis abgegrenzt und eingeordnet.

Kapitel 3: Die Lernumgebungen und deren mathematikdidaktischer Hintergrund

Im weiteren Verlauf der Arbeit werden in Kapitel 3 zwei weitere Lernumgebungen vorgestellt, die nach den in Kapitel 2 dargestellten Grundprinzipien gestaltet worden sind. Die drei Lernumgebungen Dreiecksfläche, Die Reise und Einbeschriebene Rechtecke werden auf ihr mathematisches und mathematikdidaktisches Potential im Hinblick auf die Entwicklung von Vorstellungen bezüglich Konzepten der Differential- und Integralrechnung hin analysiert. Dabei wird erläutert, welche lokalen und globalen Funktionseigenschaften sich in der Dynamik entdecken lassen und inwieweit dies zu Konzepten der Analysis hinführt.

Kapitel 4: Qualitative Studie -- Lerntheoretischer Rahmen und Studiendesign

Kapitel 4 beginnt mit der Darstellung des lerntheoretischen Rahmens, der den Kontext für die genauen Forschungsfragen und die empirische Studie bildet. Dabei wird der sogenannte Conceptual-Change-Ansatz zugrunde gelegt und es wird begründet, warum dieser einen adäquaten theoretischen Rahmen liefert. Vor diesem lerntheoretischen Hintergrund werden drei Forschungsfragen formuliert und begründet. Diese zielen auf die Beantwortung der Grundfrage, ob und wie die Lernumgebungen einen Beitrag zu Konzeptualisierungsprozessen im Bereich der Analysis leisten können. Zusätzlich wird die Frage nach möglichen epistemologischen Hürden, die bei der Arbeit mit den Lernumgebungen sichtbar werden, gestellt, und deren produktiver Wert für die unterrichtliche Entwicklung von Vorstellungen und Konzepten erläutert. Anschließend folgt die Darstellung des Studiendesigns und der Rahmenbedingungen. Die Lernumgebungen wurden in zwei Versuchsklassen am Ende der 10. Klasse, also vor der Einführung des Kurvendiskussionskalküls, eingesetzt. Dabei wurde verschiedenes Auswertungsmaterial (Videoaufnahmen, Arbeitsbögen, Fragebögen) gewonnen. Das Hauptauswertungsmaterial bildeten Videos diverser Schülerpaare am Computer, die nach den Grundprinzipien der interpretativen Unterrichtsforschung analysiert wurden. Die Analysen wurden durch Antworten der Schülerinnen und Schüler auf den Arbeits- und Fragebögen ergänzt. Kapitel 4 beschreibt die methodischen Aspekte der Studie und das zugrunde liegende Auswertungsverfahren.

Kapitel 5: Qualitative Studie -- Analysen und Ergebnisse

Kapitel 5 dient der Darstellung der Analysen und Ergebnisse der qualitativen Studie. Anhand der Forschungsfragen werden vielfältige Phänomene dargestellt, die zeigen, wie die Schülerinnen und Schüler unter Nutzung der Lernumgebungen Vorstellungen zu propädeutischen Analysis-Konzepten entwickelt und formuliert haben. Einerseits liegt der Fokus dabei auf den Vorstellungen, die in der Interaktion der Schülerinnen und Schüler untereinander und mit dem Computer formuliert und entwickelt worden sind. Andererseits steht die Rolle der Lernumgebungen mit der zweistufigen Variationsmöglichkeit im Zentrum der Analyse. Es werden einige interessante epistemologische Hürden identifiziert, die Hinweise auf eine didaktische Weiterführung im Sinne einer produktiven Nutzung dieser Hürden im Unterrichtsverlauf geben. Auch ungünstige Effekte der Lernumgebungen werden deutlich. Sie verweisen auf die Stellen, die eine erhöhte Aufmerksamkeit erfordern. Gleichzeitig wird aufgezeigt, welche Impulse diesen Effekten entgegengestellt wurden bzw. werden können. Die Ergebnisse sind so zu lesen, dass sie die didaktische Wahrnehmung und gleichzeitig die Sensibilisierung für Unterrichtssituationen schärfen können. Darüber hinaus geben die Ergebnisse Hinweise auf mögliche Weiterführungen im Unterricht. Das Kapitel wird abgeschlossen durch eine Zusammenfassung der Ergebnisse und Analysen. Dabei wird ein Ausblick auf weitere Forschungsfragen und eine mögliche Weiterführung der Arbeit gegeben.

Kapitel 6: Fortsetzungsideen und Weiterführung

Zum Abschluss der Arbeit werden in Kapitel 6 einige Fortsetzungsideen für den Unterricht entwickelt, die sich aus der Studie und dem theoretischen Rahmen der Arbeit ergaben. Die Ideen verfolgen den qualitativ-inhaltlichen Zugang zur Analysis weiter. Manche der Ideen wurden schon im Unterricht - zumindest ansatzweise - umgesetzt, so dass von einigen Erfahrungen berichtet werden kann.