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Zur Konstruktion von Normalmatrizen: Unterschied zwischen den Versionen
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Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume sind bei Wahl einer geeigneten Basis durch besonders einfach strukturierte Matrizen, die sog. „Normalformen“, darstellbar. Bekannte Typen von Normalformen sind etwa JORDAN-Normalformen oder direkte Summen gewisser Begleitmatrizen. Sind die Normalformen einer Matrix noch vergleichsweise leicht angebbar, so | Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume sind bei Wahl einer geeigneten Basis durch besonders einfach strukturierte Matrizen, die sog. „Normalformen“, darstellbar. Bekannte Typen von Normalformen sind etwa JORDAN-Normalformen oder direkte Summen gewisser Begleitmatrizen. Sind die Normalformen einer Matrix noch vergleichsweise leicht angebbar, so ist zur Berechnung einer zugeordneten Basis schon ein erheblicher Aufwand erforderlich. Neben den bereits in der Literatur bekannten Verfahren zur Basiskonstruktion wird in dieser Arbeit ein weiteres Verfahren entwickelt, dessen Grundidee darin besteht, anstelle der vorgelegten Matrix deren charakteristische Matrix zu betrachten. Auf diese Weise entsteht eine Polynomformulierung des Problems, das (neben den bekannten fünf verschiedenen Normalformen) zu einem neuen Typ führt, genannt „sechste Normalform“. <br /> | ||
Das Basisproblem wird für diese sechste Normalform für den Fall, dass der Grad der irreduziblen Teiler des charakteristischen Polynoms höchstens | Das Basisproblem wird für diese sechste Normalform für den Fall, dass der Grad der irreduziblen Teiler des charakteristischen Polynoms höchstens Zwei ist, vollständig gelöst. (Falls dieser Grad Eins ist, liegt die JORDAN-Normalform vor.) Das hierzu vorgestellte Verfahren eignet sich zur Programmierung, weil das Ermitteln der SMITH-Normalform algorithmierbar ist und weil die weiteren notwendigen Schritte durch den entwickelten Formelsatz algorithmisch aufbereitet sind. Dieses Verfahren wurde im Anschluss an diese Dissertation an der TU Braunschweig von zwei Informatikern im Rahmen ihrer Diplomarbeiten programmiert und untersucht. | ||
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Siehe Literaturliste in der Dissertation.<br /> | Siehe Literaturliste in der Dissertation.<br /> | ||
[http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=20932 Dokumentation der Dissertation im “Mathematics Genealogy Project”]. | [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=20932 Dokumentation der Dissertation im “Mathematics Genealogy Project”]. | ||
Aktuelle Version vom 3. Juni 2015, 14:08 Uhr
Horst Hischer (1976): Zur Konstruktion von Normalmatrizen. Dissertation, Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig.
Betreut durch Hans-Joachim Kowalsky und Ernst Henze.
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Zusammenfassung
Endomorphismen endlich-dimensionaler Vektorräume sind bei Wahl einer geeigneten Basis durch besonders einfach strukturierte Matrizen, die sog. „Normalformen“, darstellbar. Bekannte Typen von Normalformen sind etwa JORDAN-Normalformen oder direkte Summen gewisser Begleitmatrizen. Sind die Normalformen einer Matrix noch vergleichsweise leicht angebbar, so ist zur Berechnung einer zugeordneten Basis schon ein erheblicher Aufwand erforderlich. Neben den bereits in der Literatur bekannten Verfahren zur Basiskonstruktion wird in dieser Arbeit ein weiteres Verfahren entwickelt, dessen Grundidee darin besteht, anstelle der vorgelegten Matrix deren charakteristische Matrix zu betrachten. Auf diese Weise entsteht eine Polynomformulierung des Problems, das (neben den bekannten fünf verschiedenen Normalformen) zu einem neuen Typ führt, genannt „sechste Normalform“.
Das Basisproblem wird für diese sechste Normalform für den Fall, dass der Grad der irreduziblen Teiler des charakteristischen Polynoms höchstens Zwei ist, vollständig gelöst. (Falls dieser Grad Eins ist, liegt die JORDAN-Normalform vor.) Das hierzu vorgestellte Verfahren eignet sich zur Programmierung, weil das Ermitteln der SMITH-Normalform algorithmierbar ist und weil die weiteren notwendigen Schritte durch den entwickelten Formelsatz algorithmisch aufbereitet sind. Dieses Verfahren wurde im Anschluss an diese Dissertation an der TU Braunschweig von zwei Informatikern im Rahmen ihrer Diplomarbeiten programmiert und untersucht.
Literatur
Siehe Literaturliste in der Dissertation.
Dokumentation der Dissertation im “Mathematics Genealogy Project”.