Bayes-Statistik --- ein alternativer Zugang zur beurteilenden Statistik in der siebenten und achten Klasse AHS

Stefan Götz (1997): Bayes-Statistik --- ein alternativer Zugang zur beurteilenden Statistik in der siebenten und achten Klasse AHS. Dissertation, Universität Wien.
Betreut durch Hans-Christian Reichel und Heinrich Bürger.
Begutachtet durch Hans-Christian Reichel und Heinrich Bürger.
Note: Sehr gut.
Tag der mündlichen Prüfung: 9.2.1998.

Zusammenfassung

Die Arbeit zeigt, dass die klassische beurteilende Statistik, wie sie in der siebenten und achten Klasse (das entspricht der vorletzten und letzten Schulstufe des Gymnasiums) der allgemeinbildenden höheren Schulen (AHS) in Österreich unterrichtet wird, auch mit Bayesianischen Methoden bearbeitet werden kann. Dazu werden konkrete Beispiele (u. a. aus österreichischen Schulbüchern) sowohl klassisch als auch Bayesianisch behandelt.

Im Detail wird das Testen von Hypothesen mit der Binomial-, der Normal-, der Multinomial- und der Poisson-Verteilung als Versuchsverteilung durchgeführt; dabei wird dem klassischen Aufstellen eines Annahme- bzw. Ablehnungsbereiches für die Nullhypothese H_0 die Bayesianische Gewichtung derselben gegenüber gestellt. Dies geschieht durch das Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit für H_0 unter der Voraussetzung der erhobenen Daten. Im klassischen Fall wird gerade umgekehrt die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Zustandekommen der Stichprobe unter der Voraussetzung z. B. eines bestimmten Parameterwertes berechnet. So kommt in natürlicher Weise das Bayes’sche Theorem ins Spiel.

Weiters werden die Punkt- und die Bereichsschätzung für den Parameter p einer Binomialverteilung, den Parameter µ einer Normalverteilung und den Parameter $\lambda$ einer Poisson-Verteilung untersucht. Bei der Punktschätzung werden die klassische Maximum-Likelihood-Methode und die klassische Momentenmethode mit dem Finden des Maximums bzw. mit dem Berechnen des Erwartungswertes der A-posteriori-Dichte verglichen. Die so Bayesianisch gewonnenen Ergebnisse werden auf Erwartungstreue und Konsistenz überprüft. Für die Bereichsschätzung findet das klassische Konfidenzintervall im Bayesianischen HPD-Bereich (d. h. höchster A-posteriori-Dichte-Bereich) sein Pendant. Auch ein verteilungsfreies Testverfahren (der Vorzeichentest) wird klassisch und Bayesianisch besprochen. Prädiktivverteilungen werden als mathematischer Brückenschlag zwischen der klassischen und der Bayesianischen Sichtweise interpretiert.

Den Abschluss bildet eine didaktische Analyse (Kommentare begleiten zusätzlich den eigentlichen Text), in der grundsätzliche Betrachtungen (z. B. Begriffe wie „Zufallsvariable“ oder „Parameter“ werden von unterschiedlichen Kenngrößen – je nach Standpunkt – belegt) und technische Überlegungen (welche mathematischen Werkzeuge werden wo gebraucht?) zur Gegenüberstellung „klassischer versus Bayesianischer Ansatz“ angestellt werden.

Daneben wird auch über den Einsatz von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht reflektiert. Es werden nämlich in der Arbeit selbst gewisse Berechnungen und Approximationen mit DERIVE, welches an jeder österreichischen AHS verfügbar ist, durchgeführt, ebenso wird DERIVE zur Veranschaulichung geometrischer Sachverhalte (z. B. das Plotten von Funktionsgraphen) eingesetzt. Andererseits werden u. a. anhand von zwei Grenzwertsätzen bzw. deren Begründungen die Grenzen eines Computereinsatzes (im Mathematikunterricht) aufgezeigt.

Die grundlegende These der Dissertation ist, dass aufbauend auf einem objektivistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff und den damit verbundenen Begriffen wie z. B. Erwartungswert oder Varianz beim Kapitel „Testen von Hypothesen“ in hervorragender Weise Bayesianische Methoden eingeführt werden können. Dort ergibt sich dieser Wechsel in natürlicher Weise durch die zugrundeliegende Fragestellung. Dies wird durch theoretische Überlegungen und mit praktischen Beispielen belegt. Auch eine Parallelführung klassische/Bayesianische Statistik im Unterricht ist dann prinzipiell möglich. Das Schätzen sollte in diesem Aufbau dem Testen folgen, da bei dieser Thematik eine Änderung der Sichtweise weniger zwingend ist als bei jener. Für die mathematischen Hilfsmittel, welche den angesprochenen Wechsel begleiten, wird der Nachweis erbracht, dass sie elementar sind.

Im österreichischen Lehrplan werden drei Deutungen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs angegeben: als relativer Anteil, als relative Häufigkeit und als subjektiver Grad des Vertrauens. Die in Rede stehende Arbeit versteht sich als Unterrichtsvorschlag, der dritten Auffassung für den (österreichischen) Mathematikunterricht den Weg zu ebnen, ohne diese explizit zu erwähnen (siehe voriger Absatz). An gewissen Stellen kann die Dissertation wohl auch als hochschuldidaktischer Beitrag gewertet werden.

Kontext

Literatur

• Viertl, R. (1990). Einführung in die Stochastik mit Elementen der Bayes-Statistik und Ansätzen für die Analyse unscharfer Daten. Springer-Verlag, Wien New York
• Wickmann, D. (1990). Bayes-Statistik. Einsicht gewinnen und entscheiden bei Unsicherheit. Mathematische Texte, Band 4. Herausgegeben von N. Knoche und H. Scheid. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich