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Baustelle:Funktion: viele Gesichter: Unterschied zwischen den Versionen
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Die grundlegende mengentheoretische Definition von [[Funktion: mengentheoretische Auffassung|„'''Funktion als rechtseindeutige Relation'''“]] enthält bereits das Wesentliche und wird durch die Erweiterung über die Einbeziehung der Definitionsmenge und der Zielmenge gemäß <math>f\,:A\to B</math> und schließlich auch der Wertemenge umfassend verwendbar, so dass uns unter dieser Sichtweise und unter Berücksichtigung der [[Funktion: kulturhistorische Aspekte|'''kulturhistorischen Aspekte''']] der Entstehung des Funktionsbegriffs „Funktionen“ mit unterschiedlichen und vielfältigen [[Funktion: kulturhistorische Aspekte#warum vielfältige Gesichter von Funktionen?|„'''Gesichtern'''“]] begegnen können. Das sei nachfolgend durch einige Beispiele verdeutlicht. | |||
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Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen [[Term|Terms]] gebildeter ''Funktionsterm'' <math>f(x)</math> ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl <math>x</math> genau einen Wert zu, nämlich <math>f(x)</math>. Die Menge aller solcher geordneten Paare <math>(x,f(x))</math> ist damit rechtseindeutig, und daher ist bereits durch den Funktionsterm <math>f(x)</math> eine ''Funktion'' gegeben, was dazu führt, diesen Funktionsterm <math>f(x)</math> mit der Funktion <math>f</math> zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst <math>f</math> die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm <math>f(x)</math> gleichermaßen für diese Funktion. | ===...=== | ||
===Funktionsterm als Funktion=== | |||
Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen [[Term|Terms]] gebildeter ''Funktionsterm'' <math>f(x)</math> ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl <math>x</math> genau einen Wert zu, nämlich <math>f(x)</math>. Die Menge aller solcher geordneten Paare <math>(x,f(x))</math> ist damit [[Funktion: mengentheoretische Auffassung|rechtseindeutig]], und daher ist bereits durch den Funktionsterm <math>f(x)</math> eine ''[[Funktion: mengentheoretische Auffassung|Funktion]]'' gegeben, was dazu führt, diesen Funktionsterm <math>f(x)</math> mit der Funktion <math>f</math> zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst <math>f</math> die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm <math>f(x)</math> gleichermaßen für diese Funktion. | |||
===Funktionsgraph als Funktion=== | |||
Ist <math>f\,:A\to B</math>, so ist der zugehörige Funktionsgraph durch <math>{{\operatorname{G}}_{f}}=\{(x,f(x))|x\in A\}\subseteq A\times B</math> gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math> gilt, also kurz <math>f={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit <math>(x,f(x))</math> bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem <math>x\in A</math> genau ein<math>f(x)\in B</math> zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion '''ist'''. | Ist <math>f\,:A\to B</math>, so ist der zugehörige Funktionsgraph durch <math>{{\operatorname{G}}_{f}}=\{(x,f(x))|x\in A\}\subseteq A\times B</math> gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass <math>f=\{(x,f(x))|x\in A\}={{\operatorname{G}}_{f}}</math> gilt, also kurz <math>f={{\operatorname{G}}_{f}}</math>. Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit <math>(x,f(x))</math> bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem <math>x\in A</math> genau ein<math>f(x)\in B</math> zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion '''ist'''. | ||
===Funktionsplot als Funktion=== | |||
Siehe hierzu die Erläuterungen unter [[Funktionenplotter]]. | Siehe hierzu die Erläuterungen unter [[Funktionenplotter]]. | ||
===Digitalisierung und Diskretisierung als Funktionen=== | |||
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===Sichtbare Funktionen=== | |||
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Aktuelle Version vom 20. August 2013, 08:50 Uhr
Übersicht: Funktionen haben viele Gesichter
Die grundlegende mengentheoretische Definition von „Funktion als rechtseindeutige Relation“ enthält bereits das Wesentliche und wird durch die Erweiterung über die Einbeziehung der Definitionsmenge und der Zielmenge gemäß und schließlich auch der Wertemenge umfassend verwendbar, so dass uns unter dieser Sichtweise und unter Berücksichtigung der kulturhistorischen Aspekte der Entstehung des Funktionsbegriffs „Funktionen“ mit unterschiedlichen und vielfältigen „Gesichtern“ begegnen können. Das sei nachfolgend durch einige Beispiele verdeutlicht.
Beispiele
...
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Funktionsterm als Funktion
Ein beliebiger gemäß Definition eines arithmetischen Terms gebildeter Funktionsterm ordnet jeder reellen oder komplexen Zahl genau einen Wert zu, nämlich . Die Menge aller solcher geordneten Paare ist damit rechtseindeutig, und daher ist bereits durch den Funktionsterm eine Funktion gegeben, was dazu führt, diesen Funktionsterm mit der Funktion zwar nicht formal, aber inhaltlich im Wesentlichen identifizieren zu können. Obwohl also „eigentlich“ erst die Funktion ist, steht bereits der Funktionsterm gleichermaßen für diese Funktion.
Funktionsgraph als Funktion
Ist , so ist der zugehörige Funktionsgraph durch gegeben, und es wurde bereits festgestellt, dass gilt, also kurz . Interpretiert man das in einem (nicht notwendig numerischen) kartesischen Koordinatensystem als Darstellung von mit bezeichneten „Punkten“, so wird auf diese Weise jedem genau ein zugeordnet, womit also der Funktionsgraph auch in dieser Sichtweise bereits eine Funktion ist.
Funktionsplot als Funktion
Siehe hierzu die Erläuterungen unter Funktionenplotter.
Digitalisierung und Diskretisierung als Funktionen
(folgt)
Hörbare Funktionen
(folgt)
Sichtbare Funktionen
(folgt)
Literatur
- Herget, Wilfried & Malitte, Eva & Richter, Karin [2000]: Funktionen haben viele Gesichter – auch im Unterricht! In: Flade, Lothar & Herget, Wilfried (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS – Anregungen für die Sekundarschulen. Berlin: Verlag Volk und Wissen, 2000, 115–124.
- Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.
Anmerkungen
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