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Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. <ref>Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.</ref> Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa <math>A</math> und <math>B</math> genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />
Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. <ref>Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.</ref> Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa <math>A</math> und <math>B</math> genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit <math>R</math> bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare <math>(a,b)</math> aus der „Produktmenge“ <math>A\times B</math> gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge <math>A\times B</math> als eine ''„Relation zwischen <math>A</math> und <math>B</math>“'' – oder genauer: als eine ''„Relation von <math>A</math> nach <math>B</math>“'' – aufzufassen.<br />
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen – und vor allem situativ zu beachten und unterscheiden!
 
==Definitionen==
==Definitionen==
===Grundlegende Definitionen===
===Grundlegende Definitionen===
Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch elegant zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:
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! Definitionen !! Anmerkungen
! Definitionen !! Anmerkungen
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| ''Voraussetzung:''  Es seien {{sp}} <math>A,B,R</math> {{sp}} Mengen und <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> (also <math>n>1</math>). ||  
| ''Voraussetzung:''  Es seien {{sp}} <math>A,B,R</math> {{sp}} Mengen und {{sp}} <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> ({{sp}} also <math>n>1</math>). ||  
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| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt::
| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt: <math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> || <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.  
<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math>|| <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.<br />
Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math> {{sp}} gilt.<br />
Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math>  gilt.<br />
<math>(a,b)</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
<math>(a,b)</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zum geordneten <math>n</math>-Tupel <math>({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n-1}},{{a}_{n}})</math> verallgemeinern.<br />Spezielle Namen sind für <math>n=3</math> „'''Tripel'''“ und für <math>n=4</math> „'''Quadrupel'''“.
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| : <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> {{sp}} heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />
| <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> {{sp}} heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />
<math>A\times B</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
<math>A\times B</math> {{sp}} lässt sich rekursiv zu <math>{{A}_{1}}\times \ldots \times {{A}_{n-1}}\times {{A}_{n}}</math> verallgemeinern.
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Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>
Für binäre Relationen wird folgende '''Schreibweise''' vereinbart:: <math>xRy:\Leftrightarrow (x,y)\in R</math>


===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Veranschaulichungen und weitetre Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===
===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen.
| <math>R</math> {{sp}} ist '''irreflexiv in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x \in M:</math> {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>xRx</math>. || Nirgends Schleifen.
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| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y \in M:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>
| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y \in M:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „connecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>
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* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
* '''Zur Beachtung:''' Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz '''„in <math>M</math>“''', was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.

Aktuelle Version vom 2. April 2018, 16:47 Uhr

Übersicht [1]

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „Zuordnung“) verwendet. [2] Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen, etwa   und   genannt) zu beschreiben, also darum, ob und wie   zu   „in Beziehung steht“, falls   und   gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie   oder eine Ungleichung wie   beschrieben werden.
Sofort ist ersichtlich, dass eine konkrete, etwa mit   bezeichnete Relation dann zutreffend durch die Angabe derjenigen geordneten Paare   aus der „Produktmenge“   gekennzeichnet werden kann, die hier „in Beziehung stehen“. Das führt dazu, jede Teilmenge einer solchen Produktmenge   als eine „Relation zwischen   und   – oder genauer: als eine „Relation von   nach   – aufzufassen.
Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber unverändert bleibt, wenn man in   anstelle von   und   beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge   als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen – und vor allem situativ zu beachten und unterscheiden!

Definitionen

Grundlegende Definitionen

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit   bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ dieses Paares ankommt (im Gegensatz zur mit   bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung   als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch elegant zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung: Es seien       Mengen und     (  also  ).
Für beliebige Objekte       gilt:       heißt „geordnetes Paar“.

Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass     gilt.
    lässt sich rekursiv zum geordneten  -Tupel   verallgemeinern.
Spezielle Namen sind für  Tripel“ und für  Quadrupel“.

      heißt „Produktmenge“ oder „kartesisches Produkt“ (von   und  ).

    lässt sich rekursiv zu   verallgemeinern.

    ist genau dann eine  -stellige Relation, wenn       aus geordneten  -Tupeln besteht. 2-stellige Relationen heißen auch „binäre Relationen“, sie bestehen aus geordneten Paaren.
    ist genau dann eine Relation von   nach  , wenn       gilt. Die geometrische Beziehung „Punkt liegt auf Gerade“ ist eine Relation von einer Punktmenge nach einer Geradenmenge.
    ist genau dann eine Relation in  , wenn       gilt. Die „Größer-als-Beziehung“ ist eine Relation in einer Menge von Zahlen.

Für binäre Relationen wird folgende Schreibweise vereinbart::  

Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen [3]

Definitionen Anmerkungen
Voraussetzung:     seien Mengen,       und    . Die nachfolgenden Erläuterungen deuten       als einen „Pfeil von       nach    .
    ist symmetrisch   Es gilt für alle     wenn    ,   dann    . Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen: also keine Einbahnstraßen (ungerichteter Graph).
    ist asymmetrisch   Es gilt für alle     wenn    ,   dann   nicht    . Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung: nirgends Schleifen, also höchstens Einbahnstraßen (gerichteter Graph).
    ist identitiv   Es gilt für alle     wenn       und    ,   dann    . Verbindung zwischen verschiedenen Punkten nur in einer Richtung: Schleifen möglich. [4]
    ist transitiv   Es gilt für alle     wenn       und    ,   dann    . Wenn eine mittelbare Verbindung, dann auch eine unmittelbare (also direkte und damit kürzeste): Existenz von Überbrückungspfeilen.
    ist reflexiv in     Es gilt für alle      . Überall Schleifen.
    ist irreflexiv in     Es gilt für alle     nicht    . Nirgends Schleifen.
    ist konnex in     Es gilt für alle         oder    . Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung: überall Schleifen. [5]
  • Zur Beachtung: Die letzten drei Eigenschaften enthalten jeweils den wesentlichen Zusatz „in  , was bedeutet, dass eine Relation z. B. nicht per se „reflexiv“ sein kann, sondern dass dazu der Bezug auf eine konkrete Menge unverzichtbar ist. Und genau bei den ersten vier Eigenschaften ist dieser Zusatz nicht erforderlich.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Halbordnungsrelation, wenn sie reflexiv, identitiv und transitiv ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Totalordnungsrelation, wenn sie identitiv, transitiv und konnex ist.
  • Eine Relation in einer Menge ist genau dann eine Striktordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist.

Literatur

  • Hischer, Horst [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur – Funktion – Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum.

Anmerkungen

  1. Die gesamte Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].
  2. Diese Deutung von „Relation“ als „Beziehung“ geht auf die in der Logik (als einer philosophischen Disziplin) übliche Bedeutung zurück, während das lateinische „relatio“ zunächst nur „Bericht(erstattung)“ oder „Vortrag“ bedeutete.
  3. Veranschaulichungen und weitere Erläuterungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]
  4. Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.
  5. Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „connecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Horst Hischer (2018): Relation. Version vom 2.04.2018. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Relation&oldid=29797.