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Baustelle:Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen
→Didaktischer Kommentar
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=Definition= | =Definition= | ||
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder [[Aussageform|Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre [[Aussage]] <ref>http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_01.htm</ref> | Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder [[Aussageform|Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre [[Aussage]] entstehen muss. <ref>http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_01.htm</ref> Dabei wird die Menge von Zahlen, deren Elemente, eingesetzt für die Variable, eine wahre Aussage ergeben, als [[Lösungsmenge]] L bezeichnet. | ||
Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | ||
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Beispiel: 2+3x=16 | Beispiel: 2+3x=16 | ||
Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa | Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa (1180-1250) zurück.[http://www.library.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-01-Biographie.html] | ||
=Klassifizierung der Gleichungen= | =Klassifizierung der Gleichungen= | ||
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Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor. <br /><br /> | Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor. <br /><br /> | ||
z.B. 3/x - 36 = 0 mit x ≠ 0 | z.B. 3/x - 36 = 0 mit x ≠ 0 | ||
=Lösungsstrategien= | |||
===Äquivalente Umformungen einer Gleichung=== | |||
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen mit gleichen Zahlen aus. | |||
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden [http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/zahl/gleich/lingl/selbstlin/waagemodell.htm]. | |||
===Grafisches Lösen von Gleichungen=== | |||
Beim grafischen Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten muss jede Seite der Gleichung als Funktion dieser Unbekannten betrachtet werden. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten ihrer Schnittpunktkoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar. | |||
=Gleichungssysteme und ihre Lösungsverfahren= | =Gleichungssysteme und ihre Lösungsverfahren= | ||
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===Additionsverfahren=== | ===Additionsverfahren=== | ||
Hier werden Gleichungen addiert oder subtrahiert. Dazu werden zunächst mindestens zwei Gleichungen mit einer jeweils geeigneten Zahl so multipliziert, dass die Parameter '''einer''' Unbekannten in '''beiden''' Gleichungen betragsmäßig gleich werden. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert. | Hier werden Gleichungen addiert oder subtrahiert. Dazu werden zunächst mindestens zwei Gleichungen mit einer jeweils geeigneten Zahl so multipliziert, dass die Parameter '''einer''' Unbekannten in '''beiden''' Gleichungen betragsmäßig gleich werden. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert. | ||
=Didaktischer Kommentar= | =Didaktischer Kommentar= | ||
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Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe von Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen. | Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe von Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen. | ||
Technische Hilfsmittel, wie z.B. Dynamische | Technische Hilfsmittel, wie z.B. Dynamische Geometrieprogramme, CAS-Rechner und grafikfähige Taschenrechner bieten mit den grafischen Lösungsverfahren oft eine zeitsparende Variante zu den algebraischen Lösungsmethoden. | ||
Eine weitere meist im Unterricht eingesetzte Methode des grafischen Lösens von Gleichungen ist das Arbeiten mit der Normalform. | Eine weitere meist im Unterricht eingesetzte Methode des grafischen Lösens von Gleichungen ist das Arbeiten mit der Normalform. | ||
Dies ist ein Spezialfall des oben beschriebenen allgemeinen Verfahrens | Dies ist ein Spezialfall des oben beschriebenen allgemeinen Verfahrens. Dazu formt man die Gleichung des jeweiligen Grades (1) in die Normalform um (2) und betrachtet diese als Funktion der Unbekannten des jeweiligen Grades (3). | ||
<br />'''Beispiel:''' | <br />'''Beispiel:''' | ||
Für eine Gleichung 2. Grades betrachte die Funktion: | |||
(1) | (1) ax²+bx=d mit a≠0 | ||
(2) | (2) ax²+bx-d=0 | ||
(3) y= | (3) y=ax²+bx-d<br /> | ||
Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ist dann die gesuchte Lösung der gegebenen Gleichung.<br /> | |||
Zum | Zum Einzeichnen eines Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem ist auch das Erstellen einer [[Wertetabelle]] hilfreich. | ||
=Literatur= | =Literatur= | ||