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Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder [[Aussageform|Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre [[Aussage]] <ref>http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_01.htm</ref> | Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder [[Aussageform|Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre [[Aussage]] entstehen muss<ref>http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_01.htm</ref> . Dabei wird die Menge von Zahlen, deren Elemente, eingesetzt für die Variable, eine wahre Aussage ergeben, als [[Lösungsmenge]] L bezeichnet. | ||
Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | ||
Version vom 19. Februar 2013, 09:44 Uhr
Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik zwei gleichgesetzte Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss[1] . Dabei wird die Menge von Zahlen, deren Elemente, eingesetzt für die Variable, eine wahre Aussage ergeben, als Lösungsmenge L bezeichnet.
Man spricht weiter von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass beide Seiten einander gleich sind oder gleich sein sollen.
Beispiel: 2+3x=16
Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa [2] (1180-1250) zurück.
Klassifizierung der Gleichungen
In diesem Abschnitt werden die für die 5. bis 10. Klasse relevanten Typen von Gleichungen vorgestellt. Alle Gleichungen werden hierfür in der Normalform angegeben.
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a≠0 und sei x reell:
Lineare Gleichung
In einer Gleichung ersten Grades tritt die Unbekannte nur in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form:
| ax + b = 0 mit x ≠ 0 |
z.B. x + 1 = 0
Quadratische Gleichung
In einer Gleichung zweiten Grades ist Zwei die höchste auftretende Potenz der Unbekannten. Allgemeine Form:
| ax² + bx + c = 0 mit x² ≠ 0 |
z.B. x² + x - 2 = 0
Kubische Gleichung
In einer Gleichung dritten Grades ist Drei die höchste auftretende Potenz der Unbekannten. Allgemeine Form:
| ax³ + bx² + cx + d = 0 mit x³ ≠ 0 |
z.B. x³ - 2x² + x - 2 = 0
Bruchgleichung
Hier kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.
z.B. 3/x - 36 = 0 mit x ≠ 0
Gleichungssysteme und ihre Lösungsverfahren
Ein Gleichungssystem enthält mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Hier werden nur die schulrelevanten linearen Gleichungssysteme und deren Lösungsstrategien betrachtet.
Gleichsetzungsverfahren
Mindestens zwei Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.
Einsetzungsverfahren
Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in eine andere Gleichung ein.
Additionsverfahren
Hier werden Gleichungen addiert oder subtrahiert. Dazu werden zunächst mindestens zwei Gleichungen mit einer jeweils geeigneten Zahl so multipliziert, dass die Parameter einer Unbekannten in beiden Gleichungen betragsmäßig gleich werden. Im letzten Schritt wird durch Addition bzw. Subtraktion die Unbekannte eliminiert.
Lösungsstrategien
Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung einer Gleichung, wobei die Gleichheit bestehen bleibt. Dazu führt man auf beiden Seiten dieselben Rechenoperationen mit gleichen Zahlen aus.
Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden [1].
Grafisches Lösen von Gleichungen
Beim grafischen Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten muss jede Seite der Gleichung als Funktion dieser Unbekannten betrachtet werden. Die Lösungen der Gleichung kann man aus den x-Werten ihrer Schnittpunktkoordinaten ablesen. Gibt es keine Schnittpunkte, so ist die Gleichung nicht lösbar.
Didaktischer Kommentar
Grafisches Lösen von Gleichungen
Das grafische Lösen von Gleichungen ist eine hilfreiche Alternative zu den algebraischen Methoden. Es stärkt die Fähigkeit Gleichungen mit dem Funktionsbegriff zu verbinden und mit Hilfe von Schaubildern der Funktionen die Lösbarkeit bzw. Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen geometrisch zu begründen.
Technische Hilfsmittel, wie z.B. Dynamische Geometrie Programme, CAS-Rechner und grafikfähige Taschenrechner bieten mit den grafischen Lösungsverfahren oft eine zeitsparende Variante zu den algebraischen Lösungsmethoden.
Eine weitere meist im Unterricht eingesetzte Methode des grafischen Lösens von Gleichungen ist das Arbeiten mit der Normalform. Dies ist ein Spezialfall des oben beschriebenen allgemeinen Verfahrens zum grafischen Lösen von Gleichungen. Dazu formt man die Gleichung des jeweiligen Grades (1) in die Normalform um (2) und betrachtet diese als Funktion der Unbekannten des jeweiigen Grades (3).
Beispiel:
Für eine Gleichung 2. Grades betrachte die Funktion:
(1) ax²+bx=d mit a≠0 (2) ax²+bx-d=0 (3) y=ax²+bx-d
Die x-Werte der Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse sind dann die gesuchten Lösungen der gegebenen Gleichung.
Zum Einzeichnen eines Funktionsgrafen in ein Koordinatensystem ist auch das Aufstellen einer Wertetabelle mit den vorgegebenen x- und den dazugehörigen, berechneten y-Werten hilfreich.
Literatur
- Beutelspacher, A. (2011): Survival-Kit Mathematik: Mathe-Basics zum Studienbeginn. Vieweg+Teubner Verlag.
- Beschlüsse der Kultusministerkonferenz (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss [2]
- Gellert, W., Küstner H. (Hrsg.) (1972): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Deutsch Harri GmbH.