Zahlenbereiche

Definition

Zahlenbereiche sind Mengen von Zahlen, wobei diese durch bestimmte Eigenschaften definiert sind. In jedem Bereich existieren arithmetische Gesetzmäßigkeiten, mit denen man innerhalb der Menge operieren kann.

Arten von Zahlenbereichen und deren Eigenschaften

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systematischer Aufbau der Zahlenbereiche

Natürliche Zahlen: Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle positiven, ganzen Zahlen.

Mathematische Schreibweise:ℕ = {1, 2, 3,…}, ℕ₀ = ℕ ∪ {0}

Ganze Zahlen: Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente und alle additiven Inversen der Menge der natürlichen Zahlen mit Null.

Mathematische Schreibweise: ℤ = {x | x ∈ ℕ₀ v –x ∈ ℕ₀}

Rationale Zahlen: Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen.

Mathematische Schreibweise: ℚ = {x | x= m/n | m, n ∈ ℤ, n≠0}

Irrationale Zahlen: ǁ = Menge der unendlichen und nichtperiodischen Dezimalzahlen.

Reelle Zahlen: Im Bereich der reellen Zahlen wird die Menge der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen erweitert.

Mathematische Schreibweise: ℝ = ℚ ∪ ǁ

Komplexe Zahlen: Alle komplexen Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem Vielfachen von i (= imaginäre Einheit) darstellen: z = x + i·y, wobei x und y reelle Zahlen sind. Dabei x heißt Realteil von z (oder kurz Re(z)) und y Imaginärteil von z (Im(z)). Beachte: In den komplexen Zahlen gilt, dass i²= -1 und das √-1= i

Mathematische Schreibweise: ℂ = {z | z = x+iy | x,y ∈ ℝ}

Gesetzmäßigkeiten

Natürliche Zahlen

Mit je zwei natürlichen Zahlen m und n sind auch die Summe m+n und das Produkt m·n wieder eine natürliche Zahl. Für Differenzen und Quotienten gilt das im Allgemeinen nicht.

In den natürlichen Zahlen gelten folgende Rechengesetze mit m,n,k ∈ ℕ:

Kommutativgesetz für Addition: m + n = n + m

Assoziativgesetz für Addition: (m + n) + k = m + (n + k)

Kommutativgesetz für Multiplikation: m • n = n • m

Assoziativgesetz für Multiplikation: (m • n)• k = m • (n • k)

Distributivgesetz: m • (n + k) = m • n + m • k

Die natürlichen Zahlen können mit den folgenden die Peano-Axiomen definiert werden:

(P1) 1∈ ℕ

(P2) Falls n∈ ℕ, dann gibt es einen Nachfolger n‘ in ℕ, n‘ = n+1.

(P3) 1 ist kein Nachfolger.

(P4) Falls n, m ∈ ℕ und n‘= m‘ dann folgt, dass n=m.

Ganze Zahlen

In den ganzen Zahlen sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen. Für die Division gilt dies nicht.

Die Assoziativ- und Kommutativgesetze bezüglich Addition und Multiplikation, sowie das Distributivgesetz stimmen mit denen der natürlichen Zahlen überein.

Rationale Zahlen

In den rationalen Zahlen gelten die Assoziativ- und Kommutativgesetze bezüglich Addition und Multiplikation, sowie das Distributivgesetz. Dabei ist die Division im Allgemeinen gültig ist, jedoch durch Null nicht definiert.

Für alle x, y, z ∈ ℚ gilt das Distributivgesetz:

1) x • (y + z) = x • y + x • z

2) x • (y - z) = x • y - x • z

Reelle Zahlen

In der Menge der reellen Zahlen gelten die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze. Weiterhin sind die reellen Zahlen bezüglich Wurzel- und Potenzoperationen abgeschlossen. Daher gelten folgende Gesetze:

1. Potenzgesetze:

i) aⁿ · a^m = a^n+m

ii) aⁿ · bⁿ = ( a · b )ⁿ

iii) (aⁿ)^m = a^(n·m)

iv) aⁿ : a^m = a^(n-m)

v) aⁿ : bⁿ = ( a : b )ⁿ

2.Wurzelgesetze

i) ⁿ√a•ⁿ√b = ⁿ√a•b

ii) ⁿ√a:ⁿ√b =ⁿ√a:b

iii) ^m√ⁿ√a = ^n•m√a

iv) (ⁿa)^m = ⁿ√^m

v)ⁿa = a^1:n

Komplexe Zahlen

In den komplexen Zahlen gelten folgende Rechengesetze:

1) (x₁ + i • y₁) + (x₂ + i • y₂) = (x₁ + x₂) + i • (y₁ + y₂)

2) (x₁ + i • y₁) - (x₂ + i • y₂) = (x₁ - x₂) + i • (y₁ - y₂)

3) (x₁ + i • y₁) • (x₂ + i • y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂) + i • (x₁y₂ + x₂y₁)

4) (x₁ + i • y₁) / (x₂ + i • y₂) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (x₂²+ y₂²) + i • (x₂y₁ - x₁y₂) / (x₂²+ y₂²) (Division nur im Falle von x₂ + i • y₂ ≠ 0)

Zahlenbereiche im Mathematikunterricht

Systematischer Aufbau

Die folgende Abbildung zeigt in welchen Klassenstufen die verschiedenen Zahlenbereiche eingeführt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass es zu Unterscheidungen in den Lehrplänen der verschiedenen Bundesländern kommen kann.

Vernetzung zu anderen Themen

In der folgenden Übersicht sehen sieht man eine beispielhafte Verknüpfung mit anderen Themenbereichen im Mathematikunterricht.

didaktisch-methodischer Kommentar

Der Themenkomplex Zahlenbereich baut systematisch aufeinander auf. Die ersten beiden Gliederungspunkte befassen sich mit der mathematischen Sichtweise auf die Zahlenbereiche. Dabei werden die einzelnen Zahlenbereiche definiert, ihre Eigenschaften und die dazugehörigen Gesetzmäßigkeiten beschrieben. Die Gliederungspunkte drei und vier geben einen didaktischen Überblick zu diesem Themenbereich. Die erste Übersicht zeigt die Einführung der Zahlenbereiche in den zugehörigen Klassenstufen. Dabei ist zu beachten, dass es nach den unterschiedlichen Bundesländern variieren kann. Die zweite Grafik befasst sich damit, mit welchen anderen mathematischen Themen die Zahlenbereiche im Unterricht verknüpft werden können, um den Schülern die Notwendigkeit der Zahlenbereiche zu erläutern. Das dargestellte Mindmap kann auch im Unterricht mit den Schülern zusammen erarbeitet werden, um ihnen einen Überblick zu verschaffen.

Auf der Seite werden nicht alle genannten mathematischen Begriffe näher erläutert. Falls mathematische Unklarheiten auftreten sollten, können diese mithilfe der angegeben Literatur gelöst werden.

Literatur

W. Kaballo, Einf? uhrung in die Analysis I, II, III, Spektrum, 1999.

K. Fritzsche, Grundkurs Analysis 1, 2, Spektrum-Verlag, 2005.

W. Walter, Analysis I und II, Springer-Verlag, 1990.

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis I und II, B.G. Teubner Stuttgart, 1990.

K. Jacobs, Ideen und Entwicklungen in der Mathematik, Band 2, Aufbau der Mathematik, Vieweg, 1990