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Folgen sind integraler Bestandteil jedes Mathematiklehrgangs. Als Aufzählung von Objekten in bestimmter Reihenfolge findet man sie bereits in der Grundschule. | Folgen sind integraler Bestandteil jedes Mathematiklehrgangs. Als Aufzählung von Objekten in bestimmter Reihenfolge findet man sie bereits in der Grundschule. | ||
In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet. | In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet. | ||
In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint. | In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint. | ||
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'''Aufzählungsaspekt'''<br /> | '''Aufzählungsaspekt'''<br /> | ||
Man gibt charakteristische (definierende) Eigenschaften der Folge an, z.B. | Man gibt charakteristische (definierende) Eigenschaften der Folge an, z.B. [[Quadratzahlen]] in aufsteigender Reihenfolge. Bei dieser Art der Folgendefinition werden die Glieder endlich aufgezählt und dann beliebig nach der erkannten oder bekannten Struktur fortgesetzt. Der Aufzählungsaspekt entspricht der intuitiven Vorstellung einer Folge. | ||
''z.B. Folge der natürlichen Zahlen (mit 0)'',<br /> | ''z.B. Folge der natürlichen Zahlen (mit 0)'',<br /> | ||
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mit der Eigenschaft, dass -wenn <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}},(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> rationale oder reele Zahlenfolgen sind- es genau eine reele Zahl <math>\sigma</math> gibt, die in allen Intervallen <math>[a_n,b_n]</math> enthalten ist. Das Verfahren der [[Bisektion]] basiert auf dem Prinzip der Intervallschachtelung. | mit der Eigenschaft, dass -wenn <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}},(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> rationale oder reele Zahlenfolgen sind- es genau eine reele Zahl <math>\sigma</math> gibt, die in allen Intervallen <math>[a_n,b_n]</math> enthalten ist. Das Verfahren der [[Bisektion]] basiert auf dem Prinzip der Intervallschachtelung. | ||
== | ==Anwendungen<ref name="weigwww" />== | ||
Folgen können in der Mathematik (und im Unterricht) unter verschiedensten Blickwinkeln betrachtet werden: | Folgen können in der Mathematik (und im Unterricht) unter verschiedensten Blickwinkeln betrachtet werden: | ||
*als Untersuchungsobjekte, wobei Eigenschaften untersucht werden ([[Monotonie]], [[Konvergenz]], [[Beschränktheit]], [[Häufungspunkte]],...), | *als Untersuchungsobjekte, wobei Eigenschaften untersucht werden ([[Monotonie]], [[Konvergenz]], [[Beschränktheit]], [[Häufungspunkte]],...), | ||
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*als Hilfsmittel zur Beschreibung algorithmischer Verfahren, z.B. Näherungs- und [[Iterative Prozesse und Folgen|Iterationsverfahren]] (z.B. [[Heron-Verfahren]], [[Newton-Verfahren]], [[Regula falsi]],...), | *als Hilfsmittel zur Beschreibung algorithmischer Verfahren, z.B. Näherungs- und [[Iterative Prozesse und Folgen|Iterationsverfahren]] (z.B. [[Heron-Verfahren]], [[Newton-Verfahren]], [[Regula falsi]],...), | ||
*als zentrales Element beim [[wissenschaftlichen Rechnen]], [[dynamischer Systeme]] oder in der diskreten Mathematik. | *als zentrales Element beim [[wissenschaftlichen Rechnen]], [[dynamischer Systeme]] oder in der diskreten Mathematik. | ||
==Beispiele== | |||
==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | |||
==Zusammenhang mit Grenzwert== | |||
==Geschichte (Sichtweisen) des Folgenbegriffs<ref name="weigwww" />== | ==Geschichte (Sichtweisen) des Folgenbegriffs<ref name="weigwww" />== | ||