Folgen

Folgen sind integraler Bestandteil jedes Mathematiklehrgangs. Als Aufzählung von Objekten in bestimmter Reihenfolge findet man sie bereits in der Grundschule.

In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder Funktionen mit dem Definitionsbereich $\mathbb {N}$ (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet.

In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint.

Definition

Folgen lassen sich als Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Menge ${\mathcal {M}}$ auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden:

funktionale Definition
Hierbei wird jedes Folgenglied durch einen funktionalen Zusammenhang über den natürlichen Zahlen angegeben:
$a_{n}=f(n),$

z.B. Folge der Quadratzahlen
$a_{n}=n^{2}$.

rekursive Definition
Jedes Folgenglied wird über einen eindeutigen funktionalen Zusammenhang zu seinen Vorgängern dargestellt (Rekursion):
$a_{n}=f(a_{n-1},...)$,

z.B. Fibonacci-Folge
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{eqnarray}“): {\displaystyle \begin{eqnarray} a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\ a_0&=&0,\\ a_1&=&1. \end{eqnarray}}

Es wird im Zusammenhang mit rekursiven Folgen auch von der iterativen Sichtweise gesprochen, da ein enger Zusammenhang mit der Beweisidee der vollständigen Induktion besteht.

Aufzählungsaspekt
Man gibt charakteristische (definierende) Eigenschaften der Folge an, z.B. Menge der Quadratzahlen in aufsteigender Reihenfolge. Bei dieser Art der Folgendefinition werden die Glieder endlich aufgezählt und dann beliebig nach der erkannten oder bekannten Struktur fortgesetzt. Der Aufzählungsaspekt entspricht der intuitiven Vorstellung einer Folge.

z.B. Folge der natürlichen Zahlen,
$a_{n}=(0,1,2,3,4,\dotsc ).$

Diskretisierungsaspekt
Dieser Aspekt ergibt sich bei der Zerlegung zusammenhängender Mengen. So kann z.B. eine auf einem Intervall $[a,b]$ definierte Funktion auf Teilintervallen linear approximiert werden. Es ergibt sich dann eine Folge von Teilintervallen $[a_{i},a_{i+1}]$ mit den dazugehörigen Funktionswerten $f_{i},f_{i+1}$. Auch beim Einbeschreiben eines Streckenzuges zur Berechnung der Bogenlänge oder der Berechnung des bestimmten Integrals mit Näherungssummen treten solche Diskretisierungen auf. Sie stehen also unter anderem im engen Zusammmenhang mit dem Problem der Inhaltsbestimmung.

Bedeutung

Folgen können in der Mathematik (und im Unterricht) unter verschiedensten Blickwinkeln betrachtet werden:

• als Untersuchungsobjekte, wobei Eigenschaften untersucht werden (Monotonie, Konvergenz, Beschränktheit, Häufungspunkte,...),
• als Hilfsmittel zum Beschreiben anderer Begriffe (Grenzwert, Integral, Wege in Graphen, Algorithmus,...),
• als Hilfsmittel zur Beschreibung algorithmischer Verfahren, z.B. Näherungs- und Iterationsverfahren (z.B. Heron-Verfahren, Newton-Verfahren, Regula falsi,...),
• als zentrales Element beim wissenschaftlichen Rechnen, dynamischer Systeme oder in der diskreten Mathematik.

Geschichte (Sichtweisen) des Folgenbegriffs

Vorgriechische Mathematik
Folgen erscheinen als Auflistung, Aufreihung oder Aufzählung von endlich vielen Symbolen oder Zahlen. Eine Folge wird in Form von Tafeln oder Tabellen dargestellt. So treten bei den Babyloniern Zahlenfolgen in Form von Multiplikationstabellen oder den Tabellen zur Mondrechnung auf.

Griechische Mathematik
In der griechischen Mathematik ist der Folgenbegriff eng mit Vorstellungen über das Unendliche verbunden. Aristoteles verbindet den Unendlichkeitsbegriff mit der Möglichkeit eines unendlichen Prozesses (Begriff des potentiellen Unendlichen). Bei der 'Quadratur der Parabel' tritt bei Archimedes die iterative Sichtweise bei der einer Parabel einbeschriebenen Dreiecksflächenfolge auf, und es stellt sich erstmals das Problem der Summation einer unendlichen geometrischen Reihe.

Beginn der Neuzeit
Die Summation unendlicher Reihen bildet dann auch zu Beginn der Neuzeit den Ausgangspunkt für Grenzwertüberlegungen. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts sind mit dem Grenzwertbegriff zum einen dynamische oder kinematische Vorstellungen verbunden (Newton, d'Alembert), und zum anderen Vorstellungen von 'unendlich kleinen Größen (Euler, Leibniz). Um die beliebige Fortsetzbarkeit einer Folge explizit beschreiben zu können geht bei Gauss der Aufzählungsaspekt einer Folge in die funktionale Sichtweise über. In Cauchy's Lehrbuch 'Cours d'Analyse' von 1828 wird dann der Grenzwertbegriff zu einem Grundbegriff der Analysis, den Cauchy wiederum in dynamischer Weise mit Hilfe des Folgenbegriffs erklärt.
Die Lösung des Grenzwertbegriff von dynamischen Vorstellungen erfolgt dann durch Weierstraß, indem er den Folgengrenzwert mit Hilfe der $n_{0}(\epsilon )$-Bedingung definiert.

20. Jahrhundert
Neue Aktualität erlangte der Folgenbegriff durch die Möglichkeit des maschinellen Rechnens. Im Zusammenhang mit der Formalisierung der Mathematik und insbesondere mit der Präzisierung des Algorithmenbegriffs erlangen endliche Folgen an Bedeutung. Schließlich ist der Folgenbegriff die zentrale Grundlage der Diskreten Mathematik.

Quellen

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden: Madipedia (2013): Folgen. Version vom 17.01.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Folgen&oldid=9379.