Folgen: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 15. Januar 2013, 18:13 Uhr

Folgen sind integraler Bestandteil jedes Mathematiklehrgangs. Als Aufzählung von Objekten in bestimmter Reihenfolge findet man sie bereits in der Grundschule.

In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder Funktionen mit dem Definitionsbereich $\mathbb {N}$ (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet.

In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Prozesse können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint.

Definition^[1]

Folgen lassen sich als Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Menge ${\mathcal {M}}$ auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden:

funktionale Definition
Hierbei wird jedes Folgenglied durch einen funktionalen Zusammenhang über den natürlichen Zahlen angegeben:
$a_{n}=f(n)$

z.B. Folge der Quadratzahlen
$a_{n}=n^{2}$

rekursive Definition
Jedes Folgenglied wird über einen eindeutigen funktionalen Zusammenhang zu seinen Vorgängern dargestellt (Rekursion):
$a_{n}=f(a_{n-1},...)$ .

z.B. Fibonacci-Folge
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{eqnarray} a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\\ a_0=0;\, a_1=1 \end{eqnarray}}

Aufzählungsaspekt
Man gibt charakteristische (definierende) Eigenschaften der Folge an, z.B. Menge der Quadratzahlen in aufsteigender Reihenfolge. Bei dieser Art der Folgendefinition werden die Glieder endlich aufgezählt und dann beliebig nach der erkannten oder bekannten Struktur fortgesetzt.

z.B. Folge der natürlichen Zahlen
$a_{n}=(1,2,3,4,\dotsc )$

Quellen

↑ Hans-Georg Weigand: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)

Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2013): Folgen. Version vom 15.01.2013. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Folgen&oldid=9264.

[weigwww-1] Hans-Georg Weigand: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)

[1]

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 Folgen sind integraler Bestandteil jedes Mathematiklehrgangs. Als Aufzählung von Objekten in bestimmter Reihenfolge findet man sie bereits in der Grundschule.
-In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...), Funktionen dem Definitionsbereich <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Es werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithetische, geometrische, quadratische,...) analysiert.
+In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder Funktionen mit dem Definitionsbereich <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet.
-In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Prozesse können untersucht bzw. modelliert werden, wobei vor allem ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll ist.
+In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Prozesse können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll scheint.
 ==Definition<ref name="weigwww">[[Hans-Georg Weigand]]: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)</ref>==
-Folgen lassen sich als Abbildung von <math>\mathbb{N}</math> in eine Menge M auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden:
+Folgen lassen sich als Abbildung von <math>\mathbb{N}</math> in eine Menge <math>\mathcal{M}</math> auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden:
 '''funktionale Definition'''<br />Hierbei wird jedes Folgenglied durch einen funktionalen Zusammenhang über den natürlichen Zahlen angegeben:
-<math>
+<br /><math>a_n=f(n)</math>
-\begin{eqnarray}
-a_n=f(n)\\
-\end{eqnarray}
-</math>
 ''z.B. Folge der Quadratzahlen''<br />
 <math>a_n=n^2</math>
-'''rekursive Definition'''<br />Jedes Folgenglied wird über einen eindeutigen funktionalen Zusammenhang zu seinen Vorgängern dargestellt (Rekursion):<br/><math>a_n=f(a_n-1,...)</math>.
+'''rekursive Definition'''<br />Jedes Folgenglied wird über einen eindeutigen funktionalen Zusammenhang zu seinen Vorgängern dargestellt (Rekursion):<br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>.
 ''z.B. Fibonacci-Folge''<br />
-<math>a_n=a_{n-2}+a_{n-1}</math><br />
+<math>\begin{eqnarray}
-<math>a_0=0;\, a_1=1</math>
+a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\\
+a_0=0;\, a_1=1
+\end{eqnarray}</math>
 '''Aufzählungsaspekt'''<br />
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 ''z.B. Folge der natürlichen Zahlen''<br />
-<math>a_n=0;\, a_1=1</math>
+<math>a_n=(1,2,3,4,\dotsc)</math>
 ==Quellen==

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