Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion 2. Grades oder Polynom 2. Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form f(x)= ax^2+bx+c (mit a ≠ 0) ist. Dies ist die zweite elementare Funktion, welche die SchülerInnen in der Schule kennenlernen. Der Graph ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(b/2a);(4ac-b^2)/4a). Für a= 0 ergibt sich eine lineare Funktion.

Einfluss der Parameter a, b und c

Parameter a

Wenn die Vorfaktoren b=0 und c=0 sind, reduziert sich die quadratische Funktion auf die Form ax², so dass der Graph der Funktion eine Normalparabel mit dem Vorfaktor a beschreibt, unter anderem nach unten bzw. oben geöffnet als auch gestaucht bzw. gestreckt sein kann.

Parameter b

Bei einer Veränderung des Vorfaktors b kommt es sowohl zu einer Verschiebung des Graphen in x-Richtung als auch in y-Richtung.

Parameter c

Die Veränderung des Vorfaktors c bedingt eine Verschiebung des Graphen in y-Richtung.

Scheitelpunkt / Scheitelpunktform

Der Scheitelpunkt trifft eine Aussage über die Lage einer Parabel und ist identisch mit dem absoluten Minimum (für a>0) bzw. absoluten Maximum (für a<0). Falls die Lage der Parabel bekannt ist, kann diese, sofern sie eine Normalparabel ist, mit Hilfe einer Parabelschablone in ein entsprechendes Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist insofern eine besondere Form, als das der Scheitelpunkt der Funktion direkt aus der Gleichung abgelesen werden kann:für f(x)=a(x+d)²+e lautet der Scheitelpunkt S(-d;e).

Da im Mathematikunterricht zumeist die quadratischen Funktionsgleichung in der Form eines Polynoms zweiten Grades dargestellt wird, lernen die SchülerInnen das Überführen der Funktionsgleichung von der Polynomform in die Scheitelpunktform mittels der quadratischen Ergänzung.

Spezialfälle quadratischer Funktionen

y=x²

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: 0 ≤ y < + ∞

Graph: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S (0;0)

y=ax²+c

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich:

- für a>0: c ≤ y < + ∞

- für a<0: - ∞ < y ≤ c

Graph: Parabel mit dem Scheitelpunkt S (0;c)

y=(x+d)²+e

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: e ≤ y < + ∞

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-d;e)

Normalform

Definitionsbereich: - ∞ < x < + ∞

Wertebereich: ((-p²)/4)+q ≤ y < + ∞

Graph: zur Normalparabel kongruente Parabel mit dem Scheitelpunkt S(-(p/2);(-(p²)/4)+q)

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Für die quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c beschreibt die Gleichung 0=ax²+bx+c aus geometrischer Sicht die Nullstellen dieser Funktion. Die Nullstellen der quadratischen Funktion ergeben sich also aus der Lösung der dazugehrörigen quadratischen Gleichung. Zur Vereinfachung der Nullstellenberechnung wird zudem die allgemeine Form 0=ax²+bx+c in die Normalform überführt:

0=x²+px+q mit p=b/a und q=c/a.

Die Lösungsformel, auch "p-q-Formel" genannt, lautet:

x1=-(p/2)+Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \sqrt{(p/2)²-q}}

x2=-(p/2)-Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \sqrt{(p/2)²-q}} .

Der Term unter dem Wurzelzeichen D=(p/2)²-q wird auch als Diskriminante bezeichnet. Diese gibt an, wie viel Lösungen die quadratische Gleichung und damit wie viel Nullstellen die quadratische Funktion hat.

Die Funktion f(x)=x²+px+q hat genau zwei verschiedene und reelle Nullstellen, wenn D>0, genau eine doppelte und reelle Nullstelle (Scheitelpunkt), wenn D=0, und keine reelle Nullstelle, aber zwei verschiedene komplexe Nullstellen, wenn D<0 ist.