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Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier [[Aussagen]] oder [[Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen | Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier [[Aussagen]] oder [[Aussageformen]], sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. | ||
Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen, z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1. Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung. | |||
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Allgemeine Form: ax+b=0 | Allgemeine Form: ax+b=0 | ||
z.B. x + 1 = 0 | z.B. x + 1 = 0 | ||
==quadratische Gleichung== | ==quadratische Gleichung== | ||
In | In einer Gleichung 2. Grades tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. | ||
Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 | Allgemeine Form: ax²+bx+c=0 | ||
z.B. x²+x -2 = 0 | z.B. x²+x -2 = 0 | ||
==kubische Gleichung== | ==kubische Gleichung== | ||
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Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 | Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0 | ||
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==Grafische Lösungen== | ==Grafische Lösungen== | ||
am Beispiel einer linearen Funktion | ''am Beispiel einer linearen Funktion'' | ||
Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0 | Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung | ||
ax+b=0 | |||
==Gleichungssysteme== | ==Gleichungssysteme== | ||
Das ist ein System linearer Gleichungen,die mehrere unbekannte Größen enthalten. | |||
===Gleichsetzungsverfahren=== | ===Gleichsetzungsverfahren=== | ||
Beide Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt. | |||
===Einsetzungsverfahren=== | ===Einsetzungsverfahren=== | ||
Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein. | |||
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Hier werden Gleichungen addiert, wobei vorher jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert wird, sodass die Parameter '''einer''' Unbekannten in '''beiden''' Gleichungen gleich groß sind. Durch Addition bzw. Subtraktion wird die Unbekannte eliminiert. | |||
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Version vom 11. Dezember 2012, 12:46 Uhr
Definition
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik das Gleichsetzen zweier Aussagen oder Aussageformen, sodass als Folge eine wahre Aussage entstehen muss. Mit Hilfe einer Gleichung drückt man aus, dass zwei Größen einander gleich sind oder gleich sein sollen, z.B. ist die Größe 3 gleich der Größe 2+1. Man spricht weiter von den beiden Seiten der Gleichung, von einer linken und einer rechten Seite der Gleichung.
Beispiele: 2+3x=16
Der Begriff Gleichung geht auf den italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci von Pisa(1180-1250) zurück.
Die Klassizierung der Gleichungen
Da zu jedem Typ von Gleichung ein spezieller Lösungsweg gehört, ist es wichtig, dass man feststellen kann mit welchem Typ von Gleichung man es gerade zu tun hat. Hierfür werden einige gängige Typen von Gleichungen aufgelistet:
Seien dazu a,b,c,d beliebig, reell und a ungleich 0
lineare Gleichung
In einer Gleichung 1. Grades tritt die Unbekannte in der 1. Potenz auf. Allgemeine Form: ax+b=0
z.B. x + 1 = 0
quadratische Gleichung
In einer Gleichung 2. Grades tritt die Unbekannte in der 2. Potenz auf. Allgemeine Form: ax²+bx+c=0
z.B. x²+x -2 = 0
kubische Gleichung
In einer Gleichung 3. Grades tritt die Unbekannte in der 3. Potenz auf Allgemeine Form: ax³+bx²+cx+d=0
z.B. x³-2x²+ x - 2 = 0
Lösungsstrategien
Äquivalente Umformungen einer Gleichung
Eine Gleichung geht in eine Gleichung über, wenn man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit gleichen Zahlen gleiche Rechenoperationen ausführt. Eine Gleichung kann als Gleichgewichtszustand einer Waage gedeutet werden.
Grafische Lösungen
am Beispiel einer linearen Funktion Man geht von einer linearen Gleichung ax+b =0 mit a ungleich 0, zu einer linearen Funktion y =ax+b. Das Schaubild dieser Funktion ist einer Gerade, die die x-Achse schneidet. Die Schnittstelle mit der x- Achse, also die Nullstelle ist die Lösung der Gleichung ax+b=0
Gleichungssysteme
Das ist ein System linearer Gleichungen,die mehrere unbekannte Größen enthalten.
Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen werden nach einer Unbekannten aufgelöst und einander gleichgesetzt.
Einsetzungsverfahren
Man löst eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein.
Additionsverfahren
Hier werden Gleichungen addiert, wobei vorher jede Gleichung mit einer passenden Zahl multipliziert wird, sodass die Parameter einer Unbekannten in beiden Gleichungen gleich groß sind. Durch Addition bzw. Subtraktion wird die Unbekannte eliminiert.