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Aussageform: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Variablenbindung ===
=== Variablenbindung ===
Die '''Variablenbindung''' findet beispielsweise mit Hilfe von [https://de.wikipedia.org/wiki/Quantor Quantoren] statt, indem nicht nur ein konkreter Wert für die Einsetzung angeboten wird, sondern z. B. ein ganzer Bereich. Hierfür kommen unter anderem '''Allquantoren''' und '''Existenzquantoren''' in Frage, etwa:
Die '''Variablenbindung''' findet beispielsweise mit Hilfe von [https://de.wikipedia.org/wiki/Quantor Quantoren] statt, indem nicht nur ein konkreter Wert für die Einsetzung angeboten wird, sondern z. B. ein ganzer Bereich. Hierfür kommen unter anderem '''Allquantoren''' und '''Existenzquantoren''' in Frage, etwa:
* <math>P(x,y)</math>  sei eine Aussageform mit zwei Variablen (z. B. eine Gleichung oder eine Ungleichung).<br />Eine mögliche Quantifizierung der Variablen <math>x</math> ist: <math>\space\bigwedge_{x \in M}P(x,y)\space</math> oder gleichbedeutend <math>\space \space\forall x \in M: \space P(x,y) \space</math> (mit einer Menge <math>M</math>). <br/> Hier ist <math>x</math> eine '''gebundene Variable''' und <math>y</math> eine '''freie Variable''': <math>x</math> ist „von außen“ nicht mehr erkennbar und kann durch eine andere Variable (außer <math>y</math>) ausgetauscht werden, hingegen kann <math>y</math> als „außen noch erkennbare“ Variable nicht ohne Weiteres ausgetauscht werden.<ref>Das entspricht den „lokalen Variablen“ und „globalen Variablen“ bei Programmiersprachen.</ref>
* <math>P(x,y)</math>  sei eine Aussageform mit zwei Variablen (z. B. eine Gleichung oder eine Ungleichung).<br />Eine mögliche Quantifizierung der Variablen <math>x</math> ist (mit einer Menge <math>M</math>): <math>\space\bigwedge_{x \in M}P(x,y)\space</math> oder in anderer Schreibweise <math>\space \space\forall x \in M: \space P(x,y) \space</math>. <br/> Hier ist <math>x</math> eine '''gebundene Variable''' und <math>y</math> eine '''freie Variable''': <math>x</math> ist „von außen“ nicht mehr erkennbar und kann durch eine andere Variable (außer <math>y</math>) ausgetauscht werden, hingegen kann <math>y</math> als „außen noch erkennbare“ Variable nicht ohne Weiteres ausgetauscht werden.<ref>Das entspricht den „lokalen Variablen“ und „globalen Variablen“ bei Programmiersprachen.</ref>
<!--== Weitere Bedeutungen ==
<!--== Weitere Bedeutungen ==
Weitere Bedeutungen und Standpunkte können in weiteren Abschnitten erläutert werden. Diese sollten geeignet benannt werden.-->
Weitere Bedeutungen und Standpunkte können in weiteren Abschnitten erläutert werden. Diese sollten geeignet benannt werden.-->

Version vom 17. April 2018, 11:12 Uhr

Eine Aussageform ist ein formal-sprachliches Gebilde, das mindestens eine Variable enthält und bei sinnvoller Bindung oder Belegung aller vorkommenden Variablen in eine Aussage übergeht. Beispielsweise ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^b=b^a} eine Aussageform, nicht aber der Term Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2} .[1]

Grundsätzliche Möglichkeiten zur Überführung einer Aussageform in eine Aussage

Variablenbelegung

Bei der Variablenbelegung werden für die Variablen konkrete Werte eingesetzt, und die Variablen sind dann Platzhalter für solche Werte, z. B.:

  • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2+1=0} ist eine Aussageform. Für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} können Zahlen eingesetzt werden:
    Einsetzung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} führt zur falschen Aussage Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2=0} , also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2=0\Leftrightarrow} F (F ist die konstante Aussage mit dem Wahrheitswert „f“).
    Einsetzung von i (mit iFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ^2=-1} ) führt zur wahren Aussage Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=0} , also analog Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=0\Leftrightarrow} W.

Variablenbindung

Die Variablenbindung findet beispielsweise mit Hilfe von Quantoren statt, indem nicht nur ein konkreter Wert für die Einsetzung angeboten wird, sondern z. B. ein ganzer Bereich. Hierfür kommen unter anderem Allquantoren und Existenzquantoren in Frage, etwa:

  • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(x,y)} sei eine Aussageform mit zwei Variablen (z. B. eine Gleichung oder eine Ungleichung).
    Eine mögliche Quantifizierung der Variablen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist (mit einer Menge Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ): Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \space\bigwedge_{x \in M}P(x,y)\space} oder in anderer Schreibweise Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \space \space\forall x \in M: \space P(x,y) \space} .
    Hier ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} eine gebundene Variable und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} eine freie Variable: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist „von außen“ nicht mehr erkennbar und kann durch eine andere Variable (außer Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} ) ausgetauscht werden, hingegen kann Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} als „außen noch erkennbare“ Variable nicht ohne Weiteres ausgetauscht werden.[2]


Literatur

  • Hischer, Horst: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung, Wiesbaden: Springer Spektrum 2012, ISBN 978-3-8349-1888-1.
  1. ↑ Die weiteren Ausführungen folgen [Hischer 2012, 71].
  2. ↑ Das entspricht den „lokalen Variablen“ und „globalen Variablen“ bei Programmiersprachen.


Der Beitrag kann wie folgt zitiert werden:
Madipedia (2018): Aussageform. Version vom 17.04.2018. In: dev_madipedia. URL: http://dev.madipedia.de/index.php?title=Aussageform&oldid=29882.
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