Relation: Unterschied zwischen den Versionen

==Übersicht <small><small><ref>Die Darstellung basiert auf [Hischer 2012, Kapitel 4 und 5].</ref></small></small>==

Der Terminus „Relation“ wird in der heutigen Mathematik im Sinne von „Beziehung“ (und damit als „[[Zuordnung]]“) verwendet. Im einfachsten Fall wird es im mathematischen Kontext darum gehen, „Beziehungen“ zwischen zwei Mengen (genauer: zwischen den Elementen von zwei Mengen) zu beschreiben, also darum, ob und wie <math>a</math> zu <math>b</math> „in Beziehung steht“, falls <math>a\in A</math> und <math>b\in B</math> gilt. Eine solche Relation kann z. B. durch eine Gleichung wie <math>{{a}^{2}}=2b-1</math> oder eine Ungleichung wie <math>3a<2\sqrt{b}</math> beschrieben werden.<br />

Da eine solche „Relation“ als Menge von geordneten Paaren aber ihre Zusammensetzung und Struktur nicht verliert, wenn man in <math>A\times B</math> anstelle von <math>A</math> und <math>B</math> beliebige Obermengen wählt, liegt es nahe, bereits diese Menge von geordneten Paaren als „Relation“ zu bezeichnen, also ohne die Angabe einer bestimmten Produktmenge <math>A\times B</math> als Bezugsmenge. Beide Wege sind sinnvoll und jeweils situativ zu wählen.

 

Der formalmathematischen Definition von „Relation“ liegt das „geordnete Paar“ zugrunde, etwa mit <math>(a,b)</math> bezeichnet, wobei es auf die Reihenfolge der beiden „Elemente“ ankommt (im Gegensatz zur mit <math>\{a,b\}</math> bezeichneten Menge). In diesem Sinne kann man die Darstellung <math>(a,b)</math> als unmittelbar einsichtig im Sinne eines undefinierten Grundbegriffs verwenden. Immerhin gelang es dem polnischen Mathematiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Kazimierz_Kuratowski Kazimierz '''Kuratowski''']) 1921, das „geordnete Paar“ mengentheoretisch zu definieren. Dieser formale Aufbau wird kurz angedeutet:

| ''Voraussetzung:''  Es seien {{sp}} <math>A,B,R</math> {{sp}} Mengen und <math>n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\{1\}</math> (also <math>n>1</math>). ||  

| Für beliebige Objekte {{sp}} <math>a, b</math> {{sp}} gilt::

<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math>|| <math>(a,b)</math> {{sp}} heißt „'''geordnetes Paar'''“.<br />

Es lässt sich dann mit Bezug auf die Definition der Gleichheit von zwei Mengen beweisen, dass <math>(a,b)=(b,a)\Leftrightarrow a=b</math>  gilt.<br />

| : <math>A\times B:=\{(a,b)|a\in A\wedge b\in B\}</math> || <math>A\times B</math> {{sp}} heißt „'''Produktmenge'''“ oder „'''kartesisches Produkt'''“ (von <math>A</math> und <math>B</math>).<br />

===<div id="Spezielle Relationen"></div>Spezielle Relationseigenschaften und spezielle Relationen <small><small><ref>Erläuterungen und Veranschaulichungen dazu in [Hischer 2012, 181 ff.]</ref></small></small>===

| ''Voraussetzung:'' <math>M,R</math> {{sp}} seien Mengen, {{sp}} <math>R\ne \varnothing</math> {{sp}} und {{sp}} <math>R\subseteq M\times M</math>. || ''Die nachfolgenden Erläuterungen deuten {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} als einen „'''Pfeil''' von {{sp}} <math>x</math> {{sp}} nach {{sp}} <math>y</math>“''.

| <math>R</math> {{sp}} ist '''symmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>yRx</math>.  || Wenn eine Verbindung, dann in beiden Richtungen (keine Einbahnstraßen; ungerichteter Graph).

| <math>R</math> {{sp}} ist '''asymmetrisch''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math>, {{sp}}  dann {{sp}} '''nicht''' {{sp}} <math>yRx</math>. || Wenn eine Verbindung, dann nur in einer Richtung; nirgends Schleifen (höchstens Einbahnstraßen, gerichteter Graph).

| <math>R</math> {{sp}} ist '''identitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRx</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>x=y</math>. || Verbindung zwischen ''verschiedenen'' Punkten nur in einer Richtung; Schleifen möglich. <ref>Statt „identitiv“ ist auch die Bezeichnung „antisymmetrisch“ üblich, was aber nicht mit „asymmetrisch“ verwechselt werden darf.</ref>

| <math>R</math> {{sp}} ist '''transitiv''' <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y,z:</math> {{sp}} wenn {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} und {{sp}} <math>yRz</math>, {{sp}} dann {{sp}} <math>xRz</math>. || Wenn eine mittelbare Verbindung, dann eine direkte (Existenz von Überbrückungspfeilen).

| <math>R</math> {{sp}} ist '''konnex in '''<math>M</math> <math>:\Leftrightarrow</math> Es gilt für alle <math> x,y \in M:</math> {{sp}} <math>xRy</math> {{sp}} oder {{sp}} <math>yRx</math>. || Zwischen je zwei Punkten mindestens eine Verbindung; überall Schleifen. <ref>Statt „konnex“ sind auch die Bezeichnungen „total“ oder „vergleichbar“ üblich. Mit „konnex“ wird das lateinische „conecto“ für „Verbindung“ (hier also als „verbindend“) erfasst.</ref>

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