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Funktionenplotter: Unterschied zwischen den Versionen
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==Übersicht== | ==Übersicht== | ||
Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein Funktionenplotter ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. <div id="Funktionsplot"></div>'''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] einer reellen [[Term|termdefinierbaren]] Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe eines Funktionsterms kann sich zwar zwischen verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle und Bezeichnungen der Standardfunktionen (z. B. „sqrt“ für Quadratwurzeln, „log“ für den natürlichen Logarithmus und „exp“ für Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung bestimmen. Viele Funktionenplotter erlauben die simultane Visualisierung mehrerer Funktionen in einem Koordinatensystem und entsprechend auch die Anzeige mehrerer Repräsentanten einer Funktionenschar. <br /> | Funktionenplotter sind zum Bereich der [[Neue Medien|Neuen Medien]] gehörende digitale Werkzeuge. Ein '''Funktionenplotter''' (nicht „Funktionsplotter“) ist ein eigenständiges Programm oder ein Plugin, das auf dem Display eines Computers einen sog. <div id="Funktionsplot"></div>'''Funktionsplot''' als ausschnittsweise Visualisierung des [[Funktion: mengentheoretische Auffassung#Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] einer reellen [[Term|termdefinierbaren]] Funktion in einem Bildschirmfenster erzeugt. Ein Funktionenplotter kann nur dann aus einer termdefinierbaren Funktion einen Funktionsplot erzeugen, wenn ihr Funktionsterm mit Hilfe der auf diesem Funktionenplotter verfügbaren Standardfunktionen bildbar ist. Die Syntax zur Eingabe eines Funktionsterms kann sich zwar zwischen verschiedenen Funktionenplottern unterscheiden, es handelt sich jedoch in der Regel um für Computerprogramme übliche Befehle und Bezeichnungen der Standardfunktionen (z. B. „sqrt“ für Quadratwurzeln, „log“ für den natürlichen Logarithmus und „exp“ für Exponentialfunktionen). Häufig kann der Benutzer den angezeigten Wertebereich angeben und interaktiv verändern sowie die Achseneinteilung bestimmen. Viele Funktionenplotter erlauben die simultane Visualisierung mehrerer Funktionen in einem Koordinatensystem und entsprechend auch die Anzeige mehrerer Repräsentanten einer Funktionenschar. <br /> | ||
Funktionenplotter sind üblicher Bestandteil [[graphikfähige Taschenrechner|graphikfähiger Taschenrechner]] (GTR) und Taschencomputer (TC). Außerdem findet man sie als Beigabe zu vielen heute üblichen [[Computeralgebrasysteme|Computeralgebrasystemen]] (CAS), auch wenn sie nichts mit „Computeralgebra“ zu tun haben. <br /> | Funktionenplotter sind üblicher Bestandteil [[graphikfähige Taschenrechner|graphikfähiger Taschenrechner]] (GTR) und Taschencomputer (TC). Außerdem findet man sie als Beigabe zu vielen heute üblichen [[Computeralgebrasysteme|Computeralgebrasystemen]] (CAS), auch wenn sie nichts mit „Computeralgebra“ zu tun haben. <br /> | ||
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* Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D<sub>''f''</sub> eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | * Ein Funktionsplot einer reellen Funktion ''f'' kann im Allgemeinen noch nicht einmal als „Teilmenge“ des (auf ein Teilintervall von D<sub>''f''</sub> eingeschränkten) Funktionsgraphen von ''f'' angesehen werden.<br /> | ||
Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides entsprechend auch beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche ''Approximationen'' der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. | Die erste Feststellung ist trivial, die zweite bedarf einer Erläuterung. Sie gründet sich auf die bei Funktionenplottern vorliegende zweifache '''Diskretisierung''' durch eine horizontale „'''Abtastung'''“ (auch „Sampling“ genannt) und eine vertikale „'''Quantisierung'''“, wie beides entsprechend auch beim Scannen von Bildern und bei der digitalen Aufzeichnung akustischer Signale vorliegt: Sowohl horizontal als auch vertikal kommen nur endlich viele Werte für die geordneten Paare (''m'', ''n'') der Pixel in Frage (s. o.). Und selbst dann, wenn die „horizontalen“ Abtaststützstellen ''m'' bestimmten originalen Argumentstellen ''x'' maßstäblich entsprechen würden (was nicht eintreten muss), so werden die vertikalen „Abtastwerte“ (die sog. „'''Samples'''“) im Allgemeinen nur maßstäbliche ''Approximationen'' der jeweiligen Funktionswerte ''f(x)'' sein können. | ||
<div id="Simulation_Funktionsgraph"></div> | |||
==Funktionsplot als Simulation== | ==Funktionsplot als Simulation== | ||
Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: <ref>[Winkelmann 1992, 34]</ref> | Bernard Winkelmann spricht daher von ''Simulation eines Funktionsgraphen'' durch einen Funktionenplotter, und zwar definiert er zuvor: <ref>[Winkelmann 1992, 34]</ref> | ||
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Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | Und bezogen auf das „Funktionenplotten“ schreibt er dann: | ||
:: Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.<br /> | :: Das mathematische Objekt ist der Graph einer Funktion, z. B. sin ''x'' für reelle ''x''. Für die Simulation muß ich die Zahlengerade durch ein endliches Intervall ersetzen (Randbedingung), dieses Intervall durch endlich-viele Punkte darin approximieren, für diese Punkte eine Approximation des Funktionswertes berechnen, die entsprechenden Punkte durch Bildschirmpixel approximieren und diese durch Zwischenpixel verbinden.<br /> | ||
Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <ref>[Winkelmann 1992, 42]</ref>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <ref>Vgl. zu all diesen Aspekten: [Hischer 2002], [Hischer 2004], [Hischer 2005] und [Hischer 2006].</ref><br /> | Funktionenplotter liefern aber nicht nur „pixelige“ und ggf. „unschöne“ Funktionsplots als „Simulation“ eines Funktionsgraphen, sondern diese Funktionsplots können wegen des sog. „[[Aliasing|Aliasings]]“ <ref> Aussprache siehe https://www.dict.cc/?s=aliasing</ref> (auch als „Stroboskopeffekt“ bekannt <ref>[Winkelmann 1992, 42]</ref>) sogar katastrophal falsch sein, und zwar auch bei hoher Auflösung (also bei großer Abtastrate). <ref>Vgl. zu all diesen Aspekten: [Hischer 2002], [Hischer 2004], [Hischer 2005] und [Hischer 2006].</ref><br /> | ||
Aber: Wenn man einen Funktionsplot als „Simulation“ erkennt, dann ist auch der klassisch von Hand (etwa mit Hilfe eines Kurvenlineals) gezeichnete „Funktionsgraph“ | Aber: Wenn man einen Funktionsplot als „Simulation“ erkennt, dann ist auch der klassisch von Hand (etwa mit Hilfe eines Kurvenlineals) gezeichnete „Funktionsgraph“ lediglich eine Simulation des eigentlichen (als Menge von geordneten Paaren definierten) Funktionsgraphen! | ||
==Die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ <small><small><ref>Vgl. [Hischer 2002, 307 ff.].</ref></small></small>== | ==Die „Hauptsätze für Funktionenplotter“ <small><small><ref>Vgl. [Hischer 2002, 307 ff.].</ref></small></small>== | ||
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==Literatur== | ==Literatur== | ||
* [[Horst Hischer|Hischer, Horst]] [2002]: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buecher/2002-mu-neumed/cover.htm Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht.] Hildesheim: Franzbecker, S. 192 ff. (3., durchgesehene und korrigierte Auflage 2005). | * [[Horst Hischer|Hischer, Horst]] [2002]: [http://www.horst.hischer.de/publikationen/buecher/2002-mu-neumed/cover.htm Mathematikunterricht und Neue Medien. Hintergründe und Begründungen in fachdidaktischer und fachübergreifender Sicht.] Hildesheim: Franzbecker, S. 192 ff. (3., durchgesehene und korrigierte Auflage 2005). | ||
* — [2004]: Treppenfunktionen und Neue Medien — medienpädagogische Aspekte. In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Funktionales Denken, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''50'''(2004)6, 36–45. | * — [2004]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2004-MU-Treppenfunktionen/Preprint115.pdf Treppenfunktionen und Neue Medien — medienpädagogische Aspekte.] In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Funktionales Denken, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''50'''(2004)6, 36–45. | ||
* — [2005]: Aliasing und Neue Medien — Ein Beitrag zur Integrativen Medienpädagogik. In: Kaune, Christa & Schwank, Inge & Sjuts, Johann (Hrsg.): Mathematikdidaktik im Wissenschaftsgefüge — Zum Verstehen und Unterrichten mathematischen Denkens. Festschrift für Elmar | * — [2005]: [http://horst.hischer.de/publikationen/buch-beitraege/2005-Festschrift_Cohors/Hischer_Preprint130.pdf Aliasing und Neue Medien — Ein Beitrag zur Integrativen Medienpädagogik.] In: Kaune, Christa & Schwank, Inge & Sjuts, Johann (Hrsg.): Mathematikdidaktik im Wissenschaftsgefüge — Zum Verstehen und Unterrichten mathematischen Denkens. Festschrift für [[Elmar Cohors-Fresenborg]]. Osnabrück: Schriftenreihe des FMD, Nr. 40.1, 2005, 115–129. | ||
* — [2006]: Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing. In: Ziegenbalg, Jochen (Hrsg.): Algorithmen, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''52'''(2006)1, 18–31. | * — [2006]: [http://horst.hischer.de/publikationen/zeitschr-beitraege/2006-MU-Aliasing/2006-Preprint111.pdf Abtast-Moiré-Phänomene als Aliasing.] In: Ziegenbalg, Jochen (Hrsg.): Algorithmen, Themenheft ''Der Mathematikunterricht'', '''52'''(2006)1, 18–31. | ||
* — [2012]: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur, Funktion, Zahl. Wiesbaden: Springer Spektrum. | * — [2012]: [http://www.springer.com/mathematics/book/978-3-8348-1888-1 Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung. Struktur, Funktion, Zahl.] Wiesbaden: Springer Spektrum. | ||
* Winkelmann, Bernard [1992]: Zur Rolle des Rechnens in anwendungsorientierter Mathematik: Algebraische, numerische und geometrische (qualitative) Methoden und ihre jeweiligen Möglichkeiten und Grenzen. In: Hischer, Horst (Hrsg.): Mathematikunterricht im Umbruch? Bericht über die 9. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V. vom 27. bis 29. September 1991 in Wolfenbüttel. Bad Salzdetfurth: Franzbecker, 32–42. | * Winkelmann, Bernard [1992]: Zur Rolle des Rechnens in anwendungsorientierter Mathematik: Algebraische, numerische und geometrische (qualitative) Methoden und ihre jeweiligen Möglichkeiten und Grenzen. In: Hischer, Horst (Hrsg.): Mathematikunterricht im Umbruch? Bericht über die 9. Arbeitstagung des Arbeitskreises „Mathematikunterricht und Informatik“ in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik e. V. vom 27. bis 29. September 1991 in Wolfenbüttel. Bad Salzdetfurth: Franzbecker, 32–42. | ||