2.341
Bearbeitungen
Achtung: diese Seite wird nur zu Testzwecken betrieben. Hier gelangen Sie zur Madipedia-Website: https://madipedia.de
[unmarkierte Version] | [gesichtete Version] |
Haas (Diskussion | Beiträge) (Änderung der Formeln in Tex-Schreibweise) |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung |
||
(13 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 8: | Zeile 8: | ||
„Unter ''Extremwertaufgaben'' versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine [[Funktion]] von zwei Veränderlichen[Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“<ref>Tietze, U.; Klika, M.; Wolpers, H.(1997): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Fachdidaktische Grundfragen. Didaktik der Analysis. Vieweg Verlag</ref> | „Unter ''Extremwertaufgaben'' versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass man eine [[Funktion]] von zwei Veränderlichen [Variablen] unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des Intervalls gelangt man zu einer Lösung.“<ref>[[Uwe-Peter Tietze|Tietze, U.]]; [[Manfred Klika|Klika, M.]]; Wolpers, H.(1997): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1: Fachdidaktische Grundfragen. Didaktik der Analysis. Vieweg Verlag</ref> | ||
==Algorithmus zur Lösung von Extremwertaufgaben== | ==Algorithmus zur Lösung von Extremwertaufgaben== | ||
===Allgemeiner Algorithmus<ref>Danckwerts,R.; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum AkademischerVerlag</ref>=== | ===Allgemeiner Algorithmus<ref>[[Rainer Danckwerts|Danckwerts, R.]]; Vogel, D. (2006): Analysis verständlich unterrichten. Spektrum AkademischerVerlag</ref>=== | ||
1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion(Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den [[Definitionsbereich]] der Funktion. | 1.Schritt: Welche Größe ist zu optimieren? Stellen Sie eine Funktion (Zielfunktion) auf um diese Größe zu berechnen. Bestimmen Sie den [[Definitionsbereich]] der Funktion. | ||
2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen. | 2.Schritt: Von wie vielen Variablen hängt diese Funktion ab? Sind Variablen zu eliminieren? Suchen Sie nach Nebenbedingungen. | ||
Zeile 27: | Zeile 26: | ||
<math> \rightarrow </math> Ähnliche Algorithmen finden sich bei: <ref>Frank, B.; Schulz, W.; Tietz, W.; [[Elke Warmuth|Warmuth, E.]] (2004): Wissensspeicher Mathematik. Cornelsen Verlag</ref> und <ref>Seeger, H.: Mathematik. Prüfungs- und Basiswissen der Oberstufe. Tandem Verlag</ref> | |||
Zeile 35: | Zeile 34: | ||
''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von <math> 1l </math> haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?'' | ''Welche Abmessungen muss eine Dose mit einem Volumen von <math> 1l </math> haben, damit möglichst wenig Material für ihre Herstellung benötigt wird?'' | ||
(Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so | (Dies ist eine Standardaufgabe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben, welche sich so oder so ähnlich in vielen Lehrbüchern wiederfindet.) | ||
Zeile 54: | Zeile 53: | ||
<math> A </math> hängt zunächst von den beiden Variablen <math> r </math> und <math> h </math> ab, folglich muss über die Nebenbedingung <math> V = 1l = 1dm^3 = 1.000cm^3 </math> eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise <math> h </math>). | <math> A </math> hängt zunächst von den beiden Variablen <math> r </math> und <math> h </math> ab, folglich muss über die Nebenbedingung <math> V = 1l = 1dm^3 = 1.000cm^3 </math> eine der beiden Variablen ersetzt werden (beispielsweise <math> h </math>). | ||
<math> V = \pi r^2h </math> | <math> V = \pi r^2h </math> <math> \Rightarrow </math> <math> h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi r^2} </math> (<math> h </math> bzw. <math> r </math> sind in <math> cm </math> anzugeben) | ||
3. | |||
<math> | <math> | ||
0 = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} | \begin{eqnarray} | ||
A &= &2\pi r^2 + \frac{2000}{r}\\ | |||
A' &= &4\pi r - \frac{2000}{r^2}\\ | |||
0& =& 4\pi r - \frac{2000}{r^2}\\ | |||
&\rightarrow& r ≈ 5,419cm | |||
\end{eqnarray}</math> | |||
<math> | <math> | ||
A'' = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0 </math> für alle <math> r > 0 </math> -> lokales Minimum bei <math> r ≈ 5,419cm </math> | |||
Zeile 89: | Zeile 83: | ||
Folgende kognitive Probleme können Schülerinnen und Schülern beim Umgang mit Extremwertaufgaben begegnen: | Folgende kognitive Probleme können Schülerinnen und Schülern beim Umgang mit Extremwertaufgaben begegnen: | ||
* Es kann ihnen schwer fallen Haupt- und Nebenbedingungen zu finden und diese zu unterscheiden, bzw. in Formeln auszudrücken, falls sie in Textform gegeben sind. | * Es kann ihnen schwer fallen, Haupt- und Nebenbedingungen zu finden und diese zu unterscheiden, bzw. in Formeln auszudrücken, falls sie in Textform gegeben sind. | ||
* Extremwertaufgaben können komplexe Sachverhalte beinhalten und/oder sich an praktischen Problemen orientieren, sodass die Schülerinnen und Schüler die rein mathematische Lösung auf diese übertragen müssen. | * Extremwertaufgaben können komplexe Sachverhalte beinhalten und/oder sich an praktischen Problemen orientieren, sodass die Schülerinnen und Schüler die rein mathematische Lösung auf diese übertragen müssen. | ||
Zeile 97: | Zeile 91: | ||
*Extremwertaufgaben aus Lehrbüchern können den Schülerinnen und Schülern bisher unbekannte Formulierungen enthalten und somit die Mathematisierung des Aufgabentextes erschweren. | *Extremwertaufgaben aus Lehrbüchern können den Schülerinnen und Schülern bisher unbekannte Formulierungen enthalten und somit die Mathematisierung des Aufgabentextes erschweren. | ||
* Viele Extremwertaufgaben sind eindeutig lösbar, jedoch entstehen | * Viele Extremwertaufgaben sind eindeutig lösbar, jedoch entstehen hinsichtlich der [[Modellierungskompetenz]] im Rahmen der Kompetenzorientierung auch Modellierungsaufgaben ohne eindeutige Lösung, was für Schülerinnen und Schüler ungewohnt sein kann. | ||
* Für Schülerinnen und Schüler könnte es irritierend sein, dass nicht alle mathematischen Lösungen auch gleichzeitig Lösungen des praktischen Problems darstellen und | * Für Schülerinnen und Schüler könnte es irritierend sein, dass nicht alle mathematischen Lösungen auch gleichzeitig Lösungen des praktischen Problems darstellen und dass sie dies begründen müssen. | ||
==Quellen== | ==Quellen== |