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→Literatur zur Didaktik
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In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet. | In der Sekundarstufe I können u.a. diskrete Zuordnungen (Monat-Temperatur, Jahr-Weltbevölkerung, Alter-Größe,...) oder [[Funktion|Funktionen]] mit dem [[Definitionsbereich]] <math>\mathbb{N}</math> (funktionaler Aspekt) untersucht werden. Weiterhin werden Eigenschaften spezieller Folgen (arithmetische, geometrische, quadratische,...) betrachtet. | ||
In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll | In der Sekundarstufe II bieten sich Folgen als Werkzeug zum Begreifen unendlicher Prozesse und des Grenzwertbegriffs an. Dynamische Systeme können untersucht bzw. modelliert werden, wobei ein verstärkter Computereinsatz sinnvoll erscheint. | ||
== | ==Definitionen<ref name="weigwww">[[Hans-Georg Weigand]]: Online-Artikel zum Thema Folgen und ihre Didaktik. http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/weigand/folgen/folgen.htm. (Version: 15.01.2013 13:30)</ref>== | ||
Folgen lassen sich als [[Abbildung]] von <math>\mathbb{N}</math> in eine Menge <math>\mathcal{M}</math> auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden: | Folgen lassen sich als [[Abbildung]] von <math>\mathbb{N}</math> in eine Menge <math>\mathcal{M}</math> auffassen. Dabei kann man Zahlen-, Punkt-, Strecken- und Intervallfolgen unterscheiden. Es gibt endliche und unendliche Folgen. Sie können auf verschiedene Arten definiert werden: | ||
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<br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>, | <br/><math>a_n=f(a_{n-1},...)</math>, | ||
''z.B. Fibonacci-Folge''<br /> | ''z.B. [[Leonardo Fibonacci von Pisa|Fibonacci]]-Folge''<br /> | ||
<math>\begin{eqnarray} | <math>\begin{eqnarray} | ||
a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\ | a_n&=&a_{n-2}+a_{n-1},\\ | ||
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*als zentrales Element beim [[wissenschaftlichen Rechnen]], [[dynamischer Systeme]] oder in der diskreten Mathematik. | *als zentrales Element beim [[wissenschaftlichen Rechnen]], [[dynamischer Systeme]] oder in der diskreten Mathematik. | ||
==Beispiele== | ==Beispiele für Zahlenfolgen== | ||
===Arithmetische Zahlenfolgen=== | |||
Bei arithmetischen Folgen (erster Ordnung) bleibt die Differenz benachbarter Folgenglieder konstant: | Bei arithmetischen Folgen (erster Ordnung) bleibt die Differenz benachbarter Folgenglieder konstant: | ||
<math>a_n-a_{n-1}=d=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}+d.</math> Durch sukzessives Einsetzen der Vorgängerglieder erhält man eine funktionale Darstellung: <math>a_n=f(a_{n-1})=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=a_{n-2}+2d=\dots=a_0+nd=f(n).</math><br />Die Bezeichnung "arithmetisch" leitet sich davon ab, dass von drei benachbarten Gliedern einer arithmetischen Folge das mittlere immer das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist: | <math>a_n-a_{n-1}=d=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}+d.</math> Durch sukzessives Einsetzen der Vorgängerglieder erhält man eine funktionale Darstellung: <math>a_n=f(a_{n-1})=a_{n-1}+d=(a_{n-2}+d)+d=a_{n-2}+2d=\dots=a_0+nd=f(n).</math><br />Die Bezeichnung "arithmetisch" leitet sich davon ab, dass von drei benachbarten Gliedern einer arithmetischen Folge das mittlere immer das arithmetische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist: | ||
<math>\frac{1}{2}\left( a_{n-1}+a_{n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(a_n-d+a_n+d\right)=a_n</math> | <math>\frac{1}{2}\left( a_{n-1}+a_{n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(a_n-d+a_n+d\right)=a_n</math><br /> | ||
'''Folge der natürlichen Zahlen'''<br /> | |||
<math>a_n=n=0+n\cdot 1=a_0+n\cdot d.</math><br /> | |||
Die Folge der natürlichen Zahlen ist demnach die arithmetische Folge mit dem Startglied 0 und dem Gliedabstand 1. | |||
'''Folge der ungeraden natürlichen Zahlen'''<br /> | |||
<math>a_n=1+n\cdot 2</math><br /> | |||
Die o.g. Folge der ungeraden natürlichen Zahlen ist eine Teilfolge der ersten n natürlichen Zahlen. Betrachtet man hierzu die Partialsummenfolge erhält man die Quadratzahlen: | |||
<math>s_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_i=\sum_{i=0}^{n-1}\left(1+2i\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(2i-1\right)=n^2.</math><br /> | |||
Es ergibt sich weiter: | |||
<math>s_{n+1}-s_n=\sum_{i=0}^{n}a_i-n^2=\sum_{i=0}^{n-1}a_i+a_{n}-n^2=n^2+(1+2n)-n^2=1+2n.</math><br /> | |||
Der Abstand zwischen zwei Quadratzahlen ist eine ungerade natürliche Zahl. Die Folge der Abstände zweier Quadratzahlen bildet demnach eine arithmetische Folge. Die Quadratzahlen gehören deshalb zu den arithmetischen Folgen zweiter Ordnung. Nicht die Differenz der Qudratzahlen selbst ist eine konstante Zahl d, sondern die Differenz der Abstände von je zwei Quadratzahlen ist eine konstante Zahl d.<br /> | |||
===Geometrische Zahlenfolgen=== | |||
Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant: | |||
<math>\frac{a_n}{a_{n-1}}=q=const.</math> <br/> Sie lassen sich rekursiv darstellen: <math>a_n=a_{n-1}\cdot q.</math><br />Eine funktionale Darstellung ist gegeben durch: | |||
<math>a_n=a_0\cdot q^n.</math> <br/> | |||
Die Bezeichnung "geometrisch" bezeichnet die Eigenschaft, dass von je drei aufeinanderfolgenden Gliedern das mittlere Glied als geometrisches Mittel der beiden benachbarten Glieder auftritt: | |||
<math>\sqrt{|a_{n+1}||a_{n-1}|}=\sqrt{|q\cdot a_n||\frac{a_n}{q}|}=\sqrt{|a_n|^2}=|a_n|.</math> <br/> | |||
'''Beispiel DIN-Formate für Papier'''<br /> | |||
Beginnend von der Größe A0 (84,1 x 118,9 cm) halbiert man jeweils die längere Seite um zur nächstkleineren Größe A1, A2, ... zu gelangen. Betrachtet man nur die Änderungen der Seitenlängen bilden diese jeweils geometrische Folgen mit dem Faktor <math>q=\frac{1}{2}.</math><br /> | |||
'''Beispiel Festverzinsung'''<br /> | |||
Die Verzinsung eines Guthabens kann klassisch durch eine geometrische Folge beschrieben werden, wobei der Zinssatz gerade den Faktor <math>q</math> darstellt. | |||
==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | ==Zusammenhang mit Unendlichkeit== | ||
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*Artin, E.: ''A Freshmen Honors Course in Calculus and Analystic Geometry''. Virginia 1957. | *Artin, E.: ''A Freshmen Honors Course in Calculus and Analystic Geometry''. Virginia 1957. | ||
*Baierlein M. u. a.: ''Anschauliche Analysis''. Ehrenwirth-Verlag 1979. | *Baierlein M. u. a.: ''Anschauliche Analysis''. Ehrenwirth-Verlag 1979. | ||
*Blum W. u. Kirsch A.: ''Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen''. MU (1979), H. 3, S. 6- 24. | *[[Werner Blum|Blum W.]] u. [[Arnold Kirsch|Kirsch A.]]: ''Zur Konzeption des Analysisunterrichts in Grundkursen''. [[MU]] (1979), H. 3, S. 6- 24. | ||
*Griesel H.: ''Analysis I''. Hannover 1968. | *[[Heinz Griesel|Griesel H.]]: ''Analysis I''. Hannover 1968. | ||
*Lang S.: ''A first Course in Calculus''. Amsterdam u. a. 1973. | *Lang S.: ''A first Course in Calculus''. Amsterdam u. a. 1973. | ||
*Oehler H., FLADT K.: ''Lehr- und Übungsbuch der Analysis''. Stuttgart 1927. | *Oehler H., FLADT K.: ''Lehr- und Übungsbuch der Analysis''. Stuttgart 1927. | ||
*Pickert G.: ''Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L'Enseignement Mathématique 8 (1962)''. Seite 303 - 310. | *[[Günter Pickert|Pickert G.]]: ''Die Einführung des Stetigkeits- und Grenzwertbegriffs in der Schule. L'Enseignement Mathématique 8 (1962)''. Seite 303 - 310. | ||
*Reidt F., WOLFF G.: ''Die Elemente der Mathematik. Bd. II, Oberstufe''. Berlin 1927. | *Reidt F., WOLFF G.: ''Die Elemente der Mathematik. Bd. II, Oberstufe''. Berlin 1927. | ||
*Schröder H., Uchtmann H.: ''Einführung in die Mathematik. Analysis''. Frankfurt u. a. 1972. | *Schröder H., Uchtmann H.: ''Einführung in die Mathematik. Analysis''. Frankfurt u. a. 1972. | ||
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*Baumann R.: ''Folgen, Grenzwert, Ableitung. Kurs im 11. Schuljahr''. Inf. Math.unterr. 5 (1980). H. 2, S. 1 - 22. | *Baumann R.: ''Folgen, Grenzwert, Ableitung. Kurs im 11. Schuljahr''. Inf. Math.unterr. 5 (1980). H. 2, S. 1 - 22. | ||
*Danckwerts R., Vogel D.: ''Wo gehören die Folgen hin?''. MU 32 (1986). H. 2, S. 52 - 58. | *[[Rainer Danckwerts|Danckwerts R.]], Vogel D.: ''Wo gehören die Folgen hin?''. MU 32 (1986). H. 2, S. 52 - 58. | ||
*Czech W.: ''Motivierende Aufgaben zum Unterrichtsthema "Folgen" ''. PM 23 (1981), S. 202 - 206 | *Czech W.: ''Motivierende Aufgaben zum Unterrichtsthema "Folgen" ''. [[PM]] 23 (1981), S. 202 - 206 | ||
*Fricker F.: ''Zur Begründung der Exponentialfunktion über Folgen''. PM 23 (1981), S. 44 - 48. | *Fricker F.: ''Zur Begründung der Exponentialfunktion über Folgen''. PM 23 (1981), S. 44 - 48. | ||
*Häberlein F.: ''Zahlenfolgen in Klasse 5''. PM 19 (1977), S. 121 - 126. | *Häberlein F.: ''Zahlenfolgen in Klasse 5''. PM 19 (1977), S. 121 - 126. | ||
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*Rüthing D.: ''Zur Einführung der Exponentialfunktion über Folgen II''.PM 21 (1979), S. 105 - 108. | *Rüthing D.: ''Zur Einführung der Exponentialfunktion über Folgen II''.PM 21 (1979), S. 105 - 108. | ||
*Vogel A.: ''Differenzengleichungen im MU''. DdM 12 (1984), H. 3, S. 165 - 184. | *Vogel A.: ''Differenzengleichungen im MU''. DdM 12 (1984), H. 3, S. 165 - 184. | ||
*Beutelspacher | *[[Albrecht Beutelspacher|Beutelspacher A.]], Petri: ''Der Goldene Schnitt'' | ||
*Walser H.: ''Der Goldene Schnitt''. Leipzig 1993. | *Walser H.: ''Der Goldene Schnitt''. Leipzig 1993. | ||
*Schmidt G.: ''Die Tennisballpyramide''. MU (1997), H. 2, S 38ff. | *Schmidt G.: ''Die Tennisballpyramide''. MU (1997), H. 2, S 38ff. | ||